Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пусть f (x, y) — гармоническая функция (определение смотри в задаче 11.28). Докажите, что функции f (x, y) = f (x + 1, y) - f (x, y) и f (x, y) = f (x, y + 1) - f (x, y) также будут гармоническими.

   Решение

---

Отрезок AL является биссектрисой треугольника ABC . Окружность радиуса 3 проходит через вершину A , касается стороны BC в точке L и пересекает сторону AB в точке K . Найдите угол BAC и площадь треугольника ABC , если BC=4 , AK:LB=3:2 .

   Решение

---

M – произвольная точка на стороне AC треугольника ABC . Доказать, что отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ABM и BCM , не зависит от выбора точки M на стороне AC .

   Решение

---

Петя и Вася независимо друг от друга разбивают белую клетчатую доску $100\times 100$ на произвольные группы клеток, каждая из чётного (но не обязательно все из одинакового) числа клеток, каждый  – на свой набор групп. Верно ли, что после этого всегда можно покрасить по половине клеток в каждой группе из разбиения Пети в чёрный цвет так, чтобы в каждой группе из разбиения Васи было поровну чёрных и белых клеток?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110046

Темы:   [ Таблицы и турниры (прочее) ] [ Раскраски ] [ Симметрия и инволютивные преобразования ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Клетки таблицы 200×200 окрашены в чёрный и белый цвета так, что чёрных клеток на 404 больше, чем белых.
Докажите, что найдётся квадрат 2×2, в котором число белых клеток нечётно.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109675

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Индукция (прочее) ] [ Симметрия и инволютивные преобразования ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

В каждую клетку квадратной таблицы размера  (2ⁿ – 1)×(2ⁿ – 1)  ставится одно из чисел 1 или – 1. Расстановку чисел назовём удачной, если каждое число равно произведению всех соседних с ним (соседними считаются числа, стоящие в клетках с общей стороной). Найдите число удачных расстановок.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73814

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Математическая логика (прочее) ] [ Симметрия и инволютивные преобразования ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 6 Классы: 8,9,10

На n карточках, выложенных по окружности, записаны числа, каждое из которых равно 1 или –1. За какое наименьшее число вопросов можно наверняка определить произведение всех n чисел, если за один вопрос разрешено узнать произведение чисел на а) любых трёх карточках; б) любых трёх карточках, лежащих подряд? (Здесь n — натуральное число, большее 3).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73712

Темы:   [ Иррациональные уравнения ] [ Замена переменных (прочее) ] [ Симметрические системы. Инволютивные преобразования ] [ Симметрия и инволютивные преобразования ] [ Методы решения задач с параметром ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Пусть a – заданное вещественное число, n – натуральное число,  n > 1.
Найдите все такие x, что сумма корней n-й степени из чисел  xⁿ – aⁿ  и  2aⁿ – xⁿ  равна числу a.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109655

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Боковая поверхность параллелепипеда ] [ Четность и нечетность ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Симметрия и инволютивные преобразования ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Боковая поверхность прямоугольного параллелепипеда с основанием a×b и высотой c (a, b и c – натуральные числа) оклеена по клеточкам без наложений и пропусков прямоугольниками со сторонами, параллельными рёбрам параллелепипеда, каждый из которых состоит из чётного числа единичных квадратов. При этом разрешается перегибать прямоугольники через боковые ребра параллелепипеда. Докажите, что если c нечётно, то число способов оклейки чётно.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями