Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена секущая, вторично пересекающаяся с окружностями в точках P и Q. Какую линию описывает середина отрезка PQ, когда секущая вращается вокруг точки A?

   Решение

Дана прямая и точка A вне её. Опустите из точки A перпендикуляр на прямую, проведя не более трёх линий циркулем и линейкой (третьей линией должен быть искомый перпендикуляр).

   Решение

Участникам тестовой олимпиады было предложено n вопросов. Жюри определяет сложность каждого из вопросов: целое положительное количество баллов, получаемых участниками за правильный ответ на вопрос. За неправильный ответ начисляется 0 баллов, все набранные участником баллы суммируются. Когда все участники сдали листки со своими ответами, оказалось, что жюри так может определить сложность вопросов, чтобы места между участниками распределились любым наперед заданным образом. При каком наибольшем числе участников это могло быть?

   Решение

Страница: << 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 117]      

Правильный треугольник $ABC$ вписан в окружность $\Omega$. Окружности $\Omega_A$, $\Omega_B$, $\Omega_C$ с центрами $A$, $B$, $C$ соответственно проходят через точку $P$, лежащую на $\Omega$, и касаются одной прямой. Докажите, что существует прямая, касающаяся двух из этих окружностей и проходящая через вершину треугольника $ABC$.

Прислать комментарий

Решение

Две окружности радиусов R и r касаются внешним образом. Найдите площадь трапеции, образованной общими внешними касательными к этим окружностям и хордами, соединяющими точки касания.

Прислать комментарий

Решение

Окружности S1 и S2 касаются внешним образом в точке F . Прямая l касается S1 и S2 в точках A и B соответственно. Прямая, параллельная прямой l , касается S2 в точке C и пересекает S1 в двух точках. Докажите, что точки A , F и C лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Окружности S1 и S2 касаются внешним образом в точке F . Их общая касательная l касается S1 и S2 в точках A и B соответственно. Прямая, параллельная AB , касается окружности S2 в точке C и пересекает S1 в точках D и E . Докажите, что общая хорда окружностей, описанных около треугольников ABC и BDE , проходит через точку F .

Прислать комментарий

Решение

Расстояние между центрами окружностей радиусов 1 и 9 равно 17. Этих окружностей и их общей внешней касательной касается третья окружность. Найдите её радиус.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 117]