Версия для печати
Убрать все задачи

---

В треугольнике ABC на сторонах AB, BC и AC взяты соответственно точки M, K и L так, что прямая MK параллельна прямой AC и ML параллельна BC. При этом отрезок BL пересекает отрезок MK в точке P, а AK пересекает ML в точке Q. Докажите, что отрезки PQ и AB параллельны.

   Решение

---

Отметим на прямой красным цветом все точки вида  81x + 100y,  где x, y – натуральные, и синим цветом – остальные целые точки.
Найдите на прямой такую точку, что любые симметричные относительно неё целые точки окрашены в разные цвета.

   Решение

Страница: << 256 257 258 259 260 261 262 >> [Всего задач: 1371]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 115502

Темы:   [ Сочетания и размещения ] [ Доказательство от противного ] [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]

Сложность: 4+ Классы: 7,8,9,10

Дана незамкнутая несамопересекающаяся ломаная из 37 звеньев. Через каждое звено провели прямую.
Какое наименьшее число различных прямых могло получиться?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58085

Темы:   [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Покрытия ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

В квадрате со стороной 1 находится 51 точка. Докажите, что какие-то три из них можно накрыть кругом радиуса 1/7.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58201

Темы:   [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Индукция в геометрии ] [ Раскраски ]

Сложность: 4+ Классы: 7,8,9

Несколько кругов одного радиуса положили на стол так, что никакие два не перекрываются. Докажите, что круги можно раскрасить в четыре цвета так, что любые два касающихся круга будут разного цвета.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107728

Темы:   [ Вписанные многогранники ] [ Выпуклые тела ] [ Перестройки ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Многогранник вписан в сферу. Может ли оказаться, что этот многогранник невыпуклый? (Многогранник вписан в сферу, если все концы его рёбер лежат на сфере.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109880

Темы:   [ Длины сторон (неравенства) ] [ Теорема косинусов ] [ Покрытия ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Длина наибольшей стороны треугольника равна 1. Докажите, что три круга радиуса с центрами в вершинах покрывают весь треугольник.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 256 257 258 259 260 261 262 >> [Всего задач: 1371]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями