Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]

Задача 64472

Темы:	[	Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения.	]
	[	Теорема косинусов	]
	[	Теорема Птолемея	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Дан вписанный четырёхугольник, острый угол между диагоналями которого равен φ. Докажите, что острый угол между диагоналями любого другого четырёхугольника с теми же длинами сторон (идущими в том же порядке) меньше φ.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57373

[Неравенство Птолемея]

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Четырехугольник (неравенства)	]
	[	Теорема Птолемея	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Дан четырёхугольник ABCD. Докажите, что AC·BD ≤ AB·CD + BC·AD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64740

Темы:	[	Окружность Аполлония	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Теорема Птолемея	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 5
Классы: 9,10

Автор: Белухов Н.

В треугольнике ABC AL_a и AM_a – внутренняя и внешняя биссектрисы угла A. Пусть ω_a – окружность, симметричная описанной окружности Ω_a треугольника AL_aM_a относительно середины BC. Окружность ω_b определена аналогично. Докажите, что ω_a и ω_b касаются тогда и только тогда, когда треугольник ABC прямоугольный.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66954

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Прямые, касающиеся окружностей (прочее)	]
	[	Теорема Птолемея	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Белухов Н.

Пусть $AM$ – медиана неравнобедренного треугольника $ABC$, $T$ – точка касания вписанной окружности $\omega$ со стороной $BC$, $S$ – вторая точка пересечения $\omega$ с отрезком $AT$. Докажите, что вписанная окружность треугольника $\delta$, образованного прямыми $AM$, $BC$ и касательной к $\omega$ в точке $S$, касается описанной окружности треугольника $ABC$.

Прислать комментарий Решение

Задача 65879

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Теорема Птолемея	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность Ω с центром O, причём O не лежит на диагоналях четырёхугольника. Описанная окружность Ω₁ треугольника AOC проходит через середину диагонали BD. Докажите, что описанная окружность Ω₂ треугольника BOD проходит через середину диагонали AC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]