Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 7 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Точки M и K лежат на сторонах соответственно AB и BC треугольника ABC, отрезки AK и CM пересекаются в точке P. Известно, что каждый из отрезков AK и CM делится точкой P в отношении  2 : 1,  считая от вершины. Докажите, что AK и CM – медианы треугольника.

Вниз   Решение


В треугольнике ABC основание высоты CD лежит на стороне AB, медиана AE равна 5, высота CD равна 6.
Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что площадь треугольника ADC в три раза больше площади треугольника BCD.

ВверхВниз   Решение


В треугольник ABC со стороной BC, равной 11, вписана окружность, касающаяся стороны AB в точке D. Известно, что AC = CD и косинус угла BAC равен $ {\frac{1}{6}}$. Найдите AC.

ВверхВниз   Решение


Четыре сферы радиуса 1 попарно касаются. Найдите высоту цилиндра, содержащего эти сферы так, что три из них касаются одного основания и боковой поверхности, а четвёртая – другого основания цилиндра.

ВверхВниз   Решение


Найдите наименьшее натуральное число, кратное 99, в десятичной записи которого участвуют только чётные цифры.

ВверхВниз   Решение


Даны 10 чисел – одна единица и 9 нулей. Разрешается выбирать два числа и заменять каждое из них их средним арифметическим.
Какое наименьшее число может оказаться на месте единицы?

ВверхВниз   Решение


  По будням Рассеянный Учёный едет на работу по кольцевой линии московского метро от станции "Таганская" до станции "Киевская", а вечером – обратно (см. схему).

  Войдя на станцию, Учёный садится в первый же подошедший поезд. Известно, что в обоих направлениях поезда ходят с примерно равными интервалами, причём по северному маршруту (через "Белорусскую") поезд идёт от "Киевской" до "Таганской" или обратно 17 минут, а по южному маршруту (через "Павелецкую") – 11 минут.   По давней привычке Учёный всё всегда подсчитывает. Однажды он подсчитал, что по многолетним наблюдениям:
  - поезд, идущий против часовой стрелки, приходит на "Киевскую" в среднем через 1 минуту 15 секунд после того, как на неё приходит поезд, идущий по часовой стрелке. То же верно и для "Таганской".
  - на поездку из дома на работу Учёный в среднем тратит на 1 минуту меньше, чем на поездку с работы домой.
  Найдите математическое ожидание интервала между поездами, идущими в одном направлении.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 69 70 71 72 73 74 75 >> [Всего задач: 772]      



Задача 54061

Темы:   [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Признаки и свойства касательной ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прямая касается двух окружностей в точках A и B. Линия центров пересекает первую окружность в точках E и C, а вторую – в точках D и F.
Докажите, что прямая AC либо параллельна, либо перпендикулярна BD.

Прислать комментарий     Решение

Задача 54380

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Признаки и свойства касательной ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Окружность, центр которой лежит вне квадрата ABCD, проходит через точки B и C.
Найдите угол между касательными к окружности, проведёнными из точки D, если отношение стороны квадрата к диаметру окружности равно  3 : 5.

Прислать комментарий     Решение

Задача 54381

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Признаки и свойства касательной ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Окружность, центр которой лежит внутри квадрата PQRS, проходит через точки Q и R.
Найдите угол между касательными к окружности, проведёнными из точки S, если отношение стороны квадрата к радиусу окружности равно  24 : 13.

Прислать комментарий     Решение

Задача 54507

Темы:   [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
[ Признаки и свойства касательной ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Найдите геометрическое место точек, из которых проведены касательные к данной окружности, равные заданному отрезку.

Прислать комментарий     Решение


Задача 54548

Темы:   [ ГМТ - прямая или отрезок ]
[ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Трапеции (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Два колеса радиусов r и R катаются по прямой m. Найдите геометрическое место точек пересечения M их общих внутренних касательных.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 69 70 71 72 73 74 75 >> [Всего задач: 772]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .