Каталог по темам

Задачи

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 490]

Задача 58062

Тема:

[

Наименьшая или наибольшая площадь (объем)

]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

На плоскости расположено n точек, причем площадь любого треугольника с вершинами в этих точках не превосходит 1. Докажите, что все эти точки можно поместить в треугольник площади 4.

Прислать комментарий Решение

Задача 58063

Тема:

[

Наименьшая или наибольшая площадь (объем)

]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Многоугольник M' гомотетичен многоугольнику M с коэффициентом гомотетии -1/2. Докажите, что существует параллельный перенос, переводящий многоугольник M' внутрь многоугольника M.

Прислать комментарий Решение

Задача 78105

Темы:	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
	[	Неравенство треугольника	]
	[	Произвольные многоугольники	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Плоский многоугольник A₁A₂...A_n составлен из n твёрдых стержней, соединенных шарнирами. Доказать, что если n > 4, то его можно деформировать в треугольник.

Прислать комментарий Решение

Задача 78220

Тема:

[

Принцип крайнего (прочее)

]

Сложность: 4+
Классы: 11

Даны числа $\alpha_{1}$ , $\alpha_{2}$ ,..., $\alpha_{k}$ , причём для всех натуральных нечётных n имеет место равенство

$\displaystyle \alpha_{1}^{n}$ + $\displaystyle \alpha_{2}^{n}$ + ... + $\displaystyle \alpha_{k}^{n}$ = 0.

Доказать, что те из чисел $\alpha_{1}$ , $\alpha_{2}$ ,..., $\alpha_{k}$ , которые не равны нулю, можно разбить на пары таким образом, чтобы два числа, входящие в одну и ту же пару, были бы равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78250

Темы:	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

На плоскости дано N точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Если A, B, C — любые три из них, то внутри треугольника ABC нет ни одной точки из данных. Доказать, что эти точки можно занумеровать так, что многоугольник A₁A₂...A_n будет выпуклым.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 490]