Страница: << 79 80 81 82 83 84 85 >> [Всего задач: 1007]      

Пусть при инверсии с центром O точка A переходит в A', а точка B – в B'. Докажите, что треугольники OAB и OB'A' подобны.

Прислать комментарий

Решение

Диагонали трапеции ABCD перпендикулярны. Точка M – середина боковой стороны AB, точка N симметрична центру описанной окружности треугольника ABD относительно прямой AD. Докажите, что ∠CMN = 90°.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике $ABC$ $\angle A= 45^{\circ}$. Точка $A'$ диаметрально противоположна $A$ на описанной окружности треугольника. Точки $E$, $F$ на сторонах $AB$, $AC$ соответственно таковы. что $A'B=BE$, $A'C=CF$. Пусть $K$ – вторая точка пересечения окружностей $AEF$ и $ABC$. Докажите, что прямая $EF$ делит пополам отрезок $A'K$.

Прислать комментарий

Решение

Пусть $BH$ – высота прямоугольного треугольника $ABC$ $(\angle B=90^{\circ})$. Вневписанная окружность треугольника $ABH$, противолежащая вершине $B$, касается прямой $AB$ в точке $A_{1}$; аналогично определяется точка $C_{1}$. Докажите, что $AC\parallel A_{1}C_{1}$.

Прислать комментарий

Решение

В прямоугольнике $ABCD$ расположены 7 кругов. Два круга радиуса 2 касаются друг друга и стороны $BC$, причём один из них касается ещё и стороны $AB$, а другой — диагонали $AC$. Остальные 5 кругов имеют радиус 1 и все касаются стороны $AD$, образуя цепочку: соседние круги касаются друг друга, причём один из крайних кругов цепочки касается ещё и стороны $CD$, а другой — диагонали $AC$. Найдите длины сторон прямоугольника $ABCD$.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 79 80 81 82 83 84 85 >> [Всего задач: 1007]