Версия для печати
Убрать все задачи

---

Существуют ли такие иррациональные числа a и b, что степень a^b - число рациональное?

   Решение

---

Можно ли расположить 12 одинаковых монет вдоль стенок большой квадратной коробки так, чтобы вдоль каждой стенки лежало ровно
  а) по 2 монеты;
  б) по 3 монеты;
  в) по 4 монеты;
  г) по 5 монет;
  д) по 6 монет;
  е) по 7 монет?
(Разрешается класть монеты одну на другую.)

   Решение

---

Функция  f(x) на отрезке [a, b] равна максимуму из нескольких функций вида y = C·10^–|x–d| (с различными d и C, причём все C положительны). Дано, что
f(a) = f(b). Докажите, что сумма длин участков, на которых функция возрастает, равна сумме длин участков, на которых функция убывает.

   Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 71]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60584

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Числа Фибоначчи ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Решите в целых числах уравнение   xφⁿ⁺¹ + yφⁿ.
Число φ определено в задаче 60578.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60592  [Теорема Ламе]

Темы:   [ Алгоритм Евклида ] [ Числа Фибоначчи ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Пусть число m₁ в десятичной системе счисления записывается при помощи n цифр.
Докажите, что при любом m₀ число шагов k в алгоритме Евклида для чисел m₀ и m₁ удовлетворяет неравенству  k ≤ 5n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65275

Темы:   [ Дискретное распределение ] [ Числа Фибоначчи ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

На рисунке изображена схема трассы для картинга. Старт и финиш в точке A, причём картингист по дороге может сколько угодно раз заезжать в точку A и возвращаться на круг.

На путь от A до B или обратно юный гонщик Юра тратит минуту. На путь по кольцу Юра также тратит минуту. По кольцу можно ездить только против часовой стрелки (стрелки показывают возможные направление движения). Юра не поворачивает назад на полпути и не останавливается. Длительность заезда 10 минут. Найдите число возможных различных маршрутов (последовательностей прохождения участков).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61502

Темы:   [ Производящие функции ] [ Числа Фибоначчи ] [ Рациональные функции ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

а) Докажите, что производящая функция последовательности чисел Фибоначчи   F(x) = F₀ + F₁x + F₂x² + ... + F_nxⁿ + ...

может быть записана в виде     где   = ,  = .

б) Пользуясь результатом задачи 61490, получите формулу Бине (см. задачу 60578.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61505

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Числа Фибоначчи ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Вычислите суммы
а) ;        б) .
Здесь L_n обозначает числа Люка, смотри задачу 3.133.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 71]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями