Каталог по темам

Задачи

Страница: << 123 124 125 126 127 128 129 >> [Всего задач: 829]

Задача 66108

Темы:	[	Графики и ГМТ на координатной плоскости	]
	[	Исследование квадратного трехчлена	]
	[	Перпендикулярные прямые	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Производная и касательная	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Заславский А.А.

Графики двух квадратных трёхчленов пересекаются в двух точках. В обеих точках касательные к графикам перпендикулярны.
Верно ли, что оси симметрии графиков совпадают?

Прислать комментарий

Решение

Задача 66240

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Медиана, проведенная к гипотенузе	]
	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Авторы: Руденко А., Хилько Д.

В треугольнике ABC проведены высоты AH₁, BH₂ и CH₃. Точка M – середина отрезка H₂H₃. Прямая AM пересекает отрезок H₂H₁ в точке K.
Докажите, что точка K принадлежит средней линии треугольника ABC, параллельной AC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66304

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
	[	Подобные фигуры	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Бакаев Е.В.

На плоскости даны два правильных тринадцатиугольника A₁A₂...A₁₃ и B₁B₂...B₁₃, причём точки B₁ и A₁₃ совпадают и лежат на отрезке A₁B₁₃, а многоугольники лежат по одну сторону от этого отрезка. Докажите, что прямые A₁A₉, B₁₃B₈ и A₈B₉ проходят через одну точку.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66310

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Автор: Кожевников П.А.

Пусть BH_b, CH_c – высоты треугольника ABC. Прямая H_bH_c пересекает описанную окружность Ω треугольника ABC в точках X и Y. Точки P и Q симметричны X и Y относительно AB и AC соответственно. Докажите, что PQ || BC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 67127

Темы:	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Кузнецов А.

Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Общие внешние касательные к окружностям $ABC$ и $ACD$ пересекаются в точке $E$, к окружностям $ABD$ и $BCD$ – в точке $F$. Докажите, что если точка $F$ лежит на прямой $AC$, то точка $E$ лежит на прямой $BD$.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 123 124 125 126 127 128 129 >> [Всего задач: 829]