Каталог по темам

Задачи

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 421]

Задача 61332

Темы:	[	Производная и касательная	]
Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Метод Ньютона (см. задачу 9.77) не всегда позволяет приблизиться к корню уравнения f (x) = 0. Для многочлена f (x) = x(x - 1)(x + 1) найдите начальное условие x₀ такое, что f (x₀) $\ne$ x₀ и x₂ = x₀.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61407

Тема:

[

Выпуклость и вогнутость

]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Неравенство Иенсена. Докажите, что если функция f (x) выпукла вверх на отрезке [a;b], то для любых различных точек x₁, x₂, ..., x_n ( n $\geqslant$ 2) из [a;b] и любых положительных $\alpha_{1}^{}$ , $\alpha_{2}^{}$ , ..., $\alpha_{n}^{}$ таких, что $\alpha_{1}^{}$ + $\alpha_{2}^{}$ +...+ $\alpha_{n}^{}$ = 1, выполняется неравенство:

f ( $\displaystyle \alpha_{1}^{}$ x₁ +...+ $\displaystyle \alpha_{n}^{}$ x_n) > $\displaystyle \alpha_{1}^{}$ f (x₁) +...+ $\displaystyle \alpha_{n}^{}$ f (x_n).

Прислать комментарий

Решение

Задача 67288

Тема:

[

Монотонность, ограниченность

]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Шноль Д.Э.

Каждая из функций $f(x)$ и $g(x)$ определена на всей числовой прямой и не является строго монотонной. Может ли быть, что и их сумма, и их разность строго монотонны на всей числовой прямой?

Прислать комментарий Решение

Задача 67513

Темы:	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]
Темы:	[	Алгебра и арифметика (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Толпыго А.К.

Существует ли такое положительное число $x > 1$, что $$\{x\} > \{x^2\} > \{x^3\} > \ldots > \{x^{100}\}?$$ (Здесь $\{x\}$ — дробная часть числа $x$, то есть разность между $x$ и ближайшим целым числом, не превосходящим $x$.)

Прислать комментарий Решение

Задача 79400

Тема:

[

Периодичность и непериодичность

]

Сложность: 3+
Классы: 11

Рассматривается функция y = f (x), определённая на всём множестве действительных чисел и удовлетворяющая для некоторого числа k ≠ 0 соотношению f (x + k)^.(1 − f (x)) = 1 + f (x). Доказать, что f (x) — периодическая функция.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 421]