Если две параллельные плоскости пересечь третьей, то прямые пересечения будут параллельны.

   Решение

Доказать, что если натуральное число k делится на 10101010101, то в его десятичной записи по крайней мере шесть цифр отличны от нуля.

   Решение

Отрезок постоянной длины движется по плоскости так, что его концы скользят по сторонам прямого угла ABC. По какой траектории движется середина этого отрезка?

   Решение

Страница: << 28 29 30 31 32 33 34 >> [Всего задач: 831]      

Некоторая прямая пересекает стороны A₁A₂, A₂A₃, ..., A_nA₁ (или их продолжения) многоугольника A₁A₂...A_n в точках M₁, M₂, ..., M_n соответственно.
Докажите, что  

Прислать комментарий

Решение

Даны точки A и B. Для каждой точки M, не совпадающей с точкой B и лежащей на прямой AB, рассмотрим отношение  AM : BM.
Где расположены точки, для которых это отношение
 а) больше 2,   б) меньше 2?

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC на стороне AC взята точка K, причём  AK = 1,  KC = 3,  а на стороне AB взята точка L, причём  AL : LB = 2 : 3.  Пусть Q – точка пересечения прямых BK и CL. Площадь треугольника AQC равна 1. Найдите высоту треугольника ABC, опущенную из вершины B.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты точки E и F. Прямые EF и BC пересекаются в точке S. Точки M и N – середины отрезков BC и EF соответственно. Прямая, проходящая через вершину A и параллельная MN, пересекает BC в точке K. Докажите, что  BK : CK = FS : ES.

Прислать комментарий

Решение

Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC, M, N – середины дуг ABC и BAC описанной окружности.
Докажите, что точки M, I, N лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда  AC + BC = 3AB.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 28 29 30 31 32 33 34 >> [Всего задач: 831]