Страница:
<< 25 26 27 28
29 30 31 >> [Всего задач: 215]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
В остроугольном треугольнике $ABC$ с высотой $AH=h$ проведена прямая через центры $O$ и $I$ описанной и вписанной окружностей. Эта прямая пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $F$ и $N$ соответственно, причем около четырехугольника $BFNC$ можно описать окружность. Найдите сумму расстояний от ортоцентра треугольника $ABC$ до его вершин.
В ромбе ABCD через точки B, C, D проведена окружность с центром
в точке O1, а через точки A, B, C проведена окружность с
центром в точке O2. Известно, что отношение длины отрезка
O1O2
к длине отрезка BO2 равно 3. Найдите величину угла ABO2.
Пусть Ω' – окружность, гомотетичная с коэффициентом ½ вписанной окружности ω треугольника относительно точки Нагеля, а Ω – окружность, гомотетичная окружности ω
с коэффициентом –½ относительно точки пересечения медиан. Докажите, что:
а) окружности Ω и Ω' совпадают;
б) окружность Ω касается средних линий треугольника;
в) окружность Ω' касается прямых, соединяющих попарно середины отрезков с концами в точке Нагеля и вершинах треугольника.
Пусть
p – полупериметр остроугольного треугольника,
R и
r – радиусы
соответственно описанной и вписанной окружностей,
q – полупериметр треугольника
с вершинами в основаниях высот данного. Докажите, что
R:r = p:q .
В треугольнике
ABC , где
AB=BC=3
,
ABC =
arccos 
, проведены медиана
AD и биссектриса
CE пересекающиеся в точке
M . Через точку
M проведена
прямая, параллельная
AC и пересекающая стороны
AB и
BC
в точках
P и
Q соответственно. Найдите
PM и радиус
окружности, вписанной в треугольник
PQB .
Страница:
<< 25 26 27 28
29 30 31 >> [Всего задач: 215]
Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Планиметрия
>>
Треугольники
>>
Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
>>
Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы
Решение
