Каталог по темам

Задачи

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 71]

Задача 103917

Темы:	[	Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$	]
	[	Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч.	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Неравенства для углов треугольника	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Френкин Б.Р.

Дано, что ни для какой стороны треугольника из проведённых к ней высоты, биссектрисы и медианы нельзя составить треугольник.
Доказать, что один из углов треугольника больше чем 135°.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116835

Темы:	[	Теория игр (прочее)	]
	[	Деление с остатком	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Подольский А.

Чичиков играет с Ноздрёвым. Сначала Ноздрёв раскладывает 1001 орех по трём коробочкам. Посмотрев на раскладку, Чичиков называет любое целое число N от 1 до 1001. Далее Ноздрёв должен переложить, если надо, один или несколько орехов в пустую четвёртую коробочку и предъявить Чичикову одну или несколько коробочек, где в сумме ровно N орехов. В результате Чичиков получит столько мертвых душ, сколько орехов переложил Ноздрёв. Какое наибольшее число душ может гарантировать себе Чичиков, как бы ни играл Ноздрёв?

Прислать комментарий

Решение

Задача 64351

Темы:	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]
	[	Принцип Дирихле (площадь и объем)	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Автор: Берлов С.Л.

Из клетчатого квадрата 55×55 вырезали по границам клеток 400 трёхклеточных уголков (повёрнутых как угодно) и ещё 500 клеток.
Докажите, что какие-то две вырезанные фигуры имеют общий отрезок границы.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66075

Темы:	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Авторы: Высоканов Б., Медведь Н.Ю., Брагин В.

Преподаватель выставил оценки по шкале от 0 до 100. В учебной части могут менять верхнюю границу шкалы на любое другое натуральное число, пересчитывая оценки пропорционально и округляя до целых. Нецелое число при округлении меняется до ближайшего целого; если дробная часть равна 0,5, направление округления учебная часть может выбирать любое, отдельно для каждой оценки. (Например, оценка 37 по шкале 100 после пересчета в шкалу 40 перейдёт в 37·⁴⁰/₁₀₀ = 14,8 и будет округлена до 15.)
Студенты Петя и Вася получили оценки a и b, отличные от 0 и 100. Докажите, что учебная часть может сделать несколько пересчётов так, чтобы у Пети стала оценка b, а у Васи – оценка a (пересчитываются одновременно обе оценки).

Прислать комментарий

Решение

Задача 107838

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Показательные функции и логарифмы (прочее)	]
	[	Последовательности (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Канель-Белов А.Я.

Рассмотрим степени пятерки: 1, 5, 25, 125, 625, ... Образуем последовательность их первых цифр: 1, 5, 2, 1, 6, ...
Докажите, что любой кусок этой последовательности, записанный в обратном порядке, встретится в последовательности первых цифр степеней двойки (1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, ...).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 71]