Каталог по темам

Задачи

Страница: << 22 23 24 25 26 27 28 >> [Всего задач: 149]

Задача 57647

Темы:	[	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее)	]
	[	Длины сторон, высот, медиан и биссектрис	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Вневписанные окружности	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Найдите отношение сторон треугольника, одна из медиан которого делится вписанной окружностью на три равные части.

Прислать комментарий Решение

Задача 108142

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Емельянова Т.

Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в точке N . Касательная к внутренней окружности, проведённая в точке K , пересекает внешнюю окружность в точках A и B . Пусть M – середина дуги AB , не содержащей точку N . Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника BMK , не зависит от выбора точки K на внутренней окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 116248

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Ивлев Ф.

Пусть I – центр вписанной окружности неравнобедренного треугольника ABC. Через A₁ обозначим середину дуги BC описанной окружности треугольника ABC, не содержащей точки A, а через A₂ – середину дуги BAC. Перпендикуляр, опущенный из точки A₁ на прямую A₂I, пересекает прямую BC в точке A'. Аналогично определяются точки B' и C'.
а) Докажите, что точки A', B' и C' лежат на одной прямой.
б) Докажите, что эта прямая перпендикулярна прямой OI, где O – центр описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98316

Темы:	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Ромбы. Признаки и свойства	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Автор: Произволов В.В.

Окружность пересекает каждую сторону ромба в двух точках и делит её на три отрезка. Обойдём контур ромба, начав с какой-нибудь вершины, по часовой стрелке, и покрасим три отрезка каждой стороны последовательно в красный, белый и синий цвета. Докажите, что сумма длин красных отрезков равна сумме длин синих.

Прислать комментарий

Решение

Задача 52437

Темы:	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
	[	Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Из точки A проведены секущая и касательная к окружности радиуса R. Пусть B – точка касания, а D и C – точки пересечения секущей с окружностью, причём точка D лежит между A и C. Известно, что BD – биссектриса угла B треугольника ABC и её длина равна R. Найдите расстояние от точки A до центра окружности.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 22 23 24 25 26 27 28 >> [Всего задач: 149]