Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Геометрия >> Планиметрия >> Преобразования плоскости >> Преобразования подобия >> Подобные фигуры
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 16 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите, что площадь треугольника равна удвоенному квадрату радиуса окружности, описанной около треугольника, умноженному на произведение синусов углов треугольника, т.е.

S$\scriptstyle \Delta$ = 2R2sin$\displaystyle \alpha$sin$\displaystyle \beta$sin$\displaystyle \gamma$,

где $ \alpha$, $ \beta$, $ \gamma$ — углы треугольника, а R — радиус его описанной окружности.

Вниз   Решение

В окружность вписаны три правильных многоугольника, число сторон каждого последующего вдвое больше, чем у предыдущего. Площади первых двух равны S1 и S2. Найдите площадь третьего.

ВверхВниз   Решение

Автор: Богданов И.И.

Все целые числа от -33 до 100 включительно расставили в некотором порядке и рассмотрели суммы каждых двух соседних чисел. Оказалось, что среди них нет нулей. Тогда для каждой такой суммы нашли число, ей обратное. Полученные числа сложили. Могло ли в результате получится целое число?

ВверхВниз   Решение

Из всякого ли выпуклого четырехугольника можно вырезать параллелограмм, три вершины которого совпадают с тремя вершинами этого четырехугольника?

ВверхВниз   Решение

Автор: Произволов В.В.

Прямая отсекает треугольник AKN от правильного шестиугольника ABCDEF так, что  AK + AN = AB.
Найдите сумму углов, под которыми отрезок KN виден из вершин шестиугольника  (∠KAN + ∠KBN + ∠KCN + ∠KDN + ∠KEN + ∠KFN).

ВверхВниз   Решение

Автор: Френкин Б.Р.

Дан квадрат. Найдите геометрическое место середин гипотенуз прямоугольных треугольников, вершины которых лежат на попарно различных сторонах квадрата и не совпадают с его вершинами.

ВверхВниз   Решение

Автор: Каибханов А.К.

Аудитория имеет форму правильного шестиугольника со стороной 3 м. В каждом углу установлен храпометр, определяющий число спящих студентов на расстоянии, не превышающем 3 м. Сколько всего спящих студентов в аудитории, если сумма показаний храпометров равна 7?

ВверхВниз   Решение

На плоскости нарисованы n > 2 различных векторов  a1, a2, ..., an  с равными длинами. Оказалось, что все векторы  –a1 + a2 + ... + an,
a1 – a2 + a3 + ... + an,  a1 + a2 + ... + an–1 – an   также имеют равные длины. Докажите, что  a1 + a2 + ... + an = 0.

ВверхВниз   Решение

Автор: Френкин Б.Р.

Найдите геометрическое место вершин треугольников с заданными ортоцентром и центром описанной окружности.

ВверхВниз   Решение

В трапеции ABCD стороны AB и CD параллельны и CD = 2AB. На сторонах AD и BC выбраны точки P и Q соответственно так, что DP : PA = 3 : 4, BQ : QC = 1 : 2. Найдите отношение площадей четырёхугольников ABQP и CDPQ.

ВверхВниз   Решение

В угол вписано несколько окружностей, радиусы которых возрастают. Каждая следующая окружность касается предыдущей окружности. Найдите сумму длин второй и четвёртой окружностей, если длина третьей равна 18$ \pi$, а площадь круга, ограниченного первой окружностью, равна $ \pi$.

ВверхВниз   Решение

Автор: Шестаков С.А.

В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки E и F являются серединами сторон BC и CD соответственно. Отрезки AE, AF и EF делят четырёхугольник на четыре треугольника, площади которых равны (в каком-то порядке) последовательным натуральным числам. Каково наибольшее возможное значение площади треугольника ABD?

ВверхВниз   Решение

Автор: Колосов В.

На плоскости расположено такое конечное множество точек M, что никакие три точки не лежат на одной прямой. Некоторые точки соединены друг с другом отрезками так, что из каждой точки выходит не более одного отрезка. Разрешается заменить пару пересекающихся отрезков AB и CD парой противоположных сторон AC и BD четырёхугольника ACBD. В полученной системе отрезков разрешается снова произвести подобную замену, и т. д. Может ли последовательность таких замен быть бесконечной?

ВверхВниз   Решение

Внутри правильного n-угольника со стороной a вписано n равных кругов так, что каждый круг касается двух смежных сторон многоугольника и двух соседних кругов. Найти площадь "звёздочки", ограниченной только дугами вписанных кругов.

ВверхВниз   Решение

Автор: Шень А.Х.

В стене имеется маленькая дырка (точка). У хозяина есть флажок следующей формы (см. рисунок).

Покажите на рисунке все точки, в которые можно вбить гвоздь, так чтобы флажок закрывал дырку.

ВверхВниз   Решение

Из вершин произвольного выпуклого четырёхугольника опущены перпендикуляры на его диагонали.
Докажите, что четырёхугольник, вершинами которого являются основания этих перпендикуляров, подобен исходному.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 [Всего задач: 30]      

  с решениями  

Задача 108227

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Описанные четырехугольники ]
[ Подобные фигуры ]
[ Удвоение медианы ]
[ Углы между биссектрисами ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Параллелограмм Вариньона ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Заславский А.А., Исаев М., Цветов Д.

Четырёхугольник ABCD с попарно непараллельными сторонами описан около окружности с центром O. Докажите, что точка O совпадает с точкой пересечения средних линий четырёхугольника ABCD тогда и только тогда, когда  OA·OC = OB·OD.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108616

Темы:   [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]
[ Две пары подобных треугольников ]
[ Четырехугольники (прочее) ]
[ Подобные фигуры ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Из вершин произвольного выпуклого четырёхугольника опущены перпендикуляры на его диагонали.
Докажите, что четырёхугольник, вершинами которого являются основания этих перпендикуляров, подобен исходному.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66304

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Подобные фигуры ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Бакаев Е.В.

На плоскости даны два правильных тринадцатиугольника A1A2...A13 и B1B2...B13, причём точки B1 и A13 совпадают и лежат на отрезке A1B13, а многоугольники лежат по одну сторону от этого отрезка. Докажите, что прямые A1A9, B13B8 и A8B9 проходят через одну точку.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115655

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Перегруппировка площадей ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Подобные фигуры ]
[ Трапеции (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Дана трапеция ABCD с основаниями  AD = a  и  BC = b.  Точки M и N лежат на сторонах AB и CD соответственно, причём отрезок MN параллелен основаниям трапеции. Диагональ AC пересекает этот отрезок в точке O. Найдите MN, если известно, что площади треугольников AMO и CNO равны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 57987

Темы:   [ Гомотетичные многоугольники ]
[ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
[ Выпуклые многоугольники ]
[ Подобные фигуры ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Докажите, что любой выпуклый многоугольник $ \Phi$ содержит два непересекающихся многоугольника $ \Phi_{1}^{}$ и $ \Phi_{2}^{}$, подобных $ \Phi$ с коэффициентом 1/2.
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 [Всего задач: 30]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .