Каталог по темам

Задачи

Страница: << 81 82 83 84 85 86 87 >> [Всего задач: 829]

Задача 108639

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Вокруг остроугольного треугольника ABC описана окружность. Продолжения высот треугольника, проведённых из вершин A и C, пересекают окружность в точках E и F соответственно, D произвольная точка на (меньшей) дуге AC, K – точка пересечения DF и AB, L – точка пересечения DE и BC. Докажите, что прямая KL проходит через ортоцентр треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108649

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Пятиугольники	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

В выпуклом пятиугольнике ABCDE AB = BC, ∠ABE + ∠DBC = ∠EBD и ∠AEB + ∠BDC = 180°.
Докажите, что ортоцентр треугольника BDE лежит на диагонали AC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108650

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

На диагонали BD параллелограмма ABCD взяты точки A' и C', причём AA' || CC'. Точка K принадлежит отрезку A'C, прямая AK пересекает прямую CC' в точке L. Через точку K проведена прямая, параллельная BC, через точку C проведена прямая, параллельная BD. Эти две прямые пересекаются в точке M. Докажите, что точки D, M и L лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108889

Темы:	[	Две пары подобных треугольников	]
Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC выбраны соответственно точки C₁, A₁ и B₁, причём отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Прямая, проходящая через точку B₁ параллельно AA₁, пересекает отрезок CC₁ в точке B₂. Прямая, проходящая через точку C₁ параллельно AA₁, пересекает отрезок BB₁ в точке C₂. Докажите, что прямые BC, B₁C₁ и B₂C₂ пересекаются в одной точке или параллельны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109850

Темы:	[	Шахматная раскраска	]
	[	Ломаные	]
	[	Ломаные внутри квадрата	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Таблицы и турниры (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10

Автор: Берлов С.Л.

Дана доска 15×15. Некоторые пары центров соседних по стороне клеток соединили отрезками так, что получилась замкнутая несамопересекающаяся ломаная, симметричная относительно одной из диагоналей доски. Докажите, что длина ломаной не больше 200.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 81 82 83 84 85 86 87 >> [Всего задач: 829]