Шесть равных окружностей касаются внешним образом окружности радиуса 1 и, кроме того, каждая из этих шести окружностей касается двух соседних. Найдите радиусы окружностей.

   Решение

Дана равнобокая трапеция $ABCD$ ($AB=CD$). На описанной около неё окружности выбирается точка $P$ так, что отрезок $CP$ пересекает основание $AD$ в точке $Q$. Пусть $L$ – середина $QD$. Докажите, что длина диагонали трапеции не превосходит суммы расстояний от середин её боковых сторон до любой точки прямой $PL$.

   Решение

На шахматной доске 8×8 стоит кубик (нижняя грань совпадает с одной из клеток доски). Его прокатили по доске, перекатывая через рёбра, так, что кубик побывал на всех клетках (на некоторых, возможно, несколько раз). Могло ли случиться, что одна из его граней ни разу не лежала на доске?

   Решение

M – середина стороны BC треугольника ABC , r1 и r2 – радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABM и ACM . Докажите, что r1 < 2r2 .

   Решение

Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 292]      

Докажите, что сумма двух любых сторон треугольника больше третьей.

Прислать комментарий

Решение

M – середина стороны BC треугольника ABC , r1 и r2 – радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABM и ACM . Докажите, что r1 < 2r2 .

Прислать комментарий

Решение

На сторонах AB и AC треугольника ABC с углом A, равным 114° взяты точки K и L соответственно.
Докажите, что на отрезке KL существует такая точка O, для которой  OA < OB и OA < OC. 

Прислать комментарий

Решение

Отрезки AB и CD длины 1 пересекаются в точке O , причем AOC=60^o . Докажите, что AC+BD1 .

Прислать комментарий

Решение

Точка C — середина отрезка AB . На произвольном луче, проведённом из точки C и не лежащем на прямой AB , выбраны три точки P , M и Q так, что PM=MQ . Докажите, что AP+BQ> 2CM .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 292]