Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 4 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Ненулевые числа a, b, c таковы, что каждые два из трёх уравнений  ax11 + bx4 + c = 0,  bx11 + cx4 + a = 0,  cx11 + ax4 + b = 0  имеют общий корень. Докажите, что все три уравнения имеют общий корень.

Вниз   Решение


На плоскости задано n точек, являющихся вершинами выпуклого n-угольника,  n > 3.  Известно, что существует ровно k равносторонних треугольников со стороной 1, вершины которых – заданные точки.
  а) Докажите, что  k < 2n/3.
  б) Приведите пример конфигурации, для которой  k > 0,666n.

ВверхВниз   Решение


На доске нарисован выпуклый 2011-угольник. Петя последовательно проводит в нём диагонали так, чтобы каждая вновь проведённая диагональ пересекала по внутренним точкам не более одной из проведённых ранее диагоналей. Какое наибольшее количество диагоналей может провести Петя?

ВверхВниз   Решение


Точка X, лежащая вне непересекающихся окружностей ω1 и ω2, такова, что отрезки касательных, проведённых из X к ω1 и ω2, равны. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника, образованного точками касания, совпадает с точкой пересечения общих внутренних касательных к ω1 и ω2.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 125]      



Задача 66981

Темы:   [ Радикальная ось ]
[ Теорема синусов ]
[ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Секущая пересекает первую окружность в точках A1,B1, а вторую – в точках A2,B2. Вторая секущая пересекает первую окружность в точках C1,D1, а вторую – в точках C2,D2. Докажите, что точки A1C1B2D2, A1C1A2C2, A2C2B1D1, B2D2B1D1 лежат на одной окружности, соосной с данными двумя.
Прислать комментарий     Решение


Задача 108682

Темы:   [ Радикальная ось ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Теорема синусов ]
[ Вспомогательная окружность ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Точка X, лежащая вне непересекающихся окружностей ω1 и ω2, такова, что отрезки касательных, проведённых из X к ω1 и ω2, равны. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника, образованного точками касания, совпадает с точкой пересечения общих внутренних касательных к ω1 и ω2.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66784

Темы:   [ Радикальная ось ]
[ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

В треугольнике ABC AH1 и BH2 – высоты; касательная к описанной окружности в точке A пересекает BC в точке S1, а касательная в точке B пересекает AC в точке S2; T1 и T2 – середины отрезков AS1 и BS2. Докажите, что T1T2, AB и H1H2 пересекаются в одной точке.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66808

Темы:   [ Радикальная ось ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Юдин Ф.

Вписанная окружность ω треугольника ABC касается его сторон AC и AB в точках E и F соответственно. Точки X,Y на ω таковы, что BXC=BYC=90. Докажите, что прямые EF и XY пересекаются на средней линии треугольника ABC.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56714

Темы:   [ Радикальная ось ]
[ Метод координат на плоскости ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10

На плоскости даны две неконцентрические окружности S1 и S2. Докажите, что геометрическим местом точек, для которых степень относительно S1 равна степени относительно S2, является прямая.



Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 125]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .