Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по двум данным сторонам, если известно, что медианы, проведённые к этим сторонам, пересекаются под прямым углом.

Вниз   Решение


На плоскости задано n точек, являющихся вершинами выпуклого n-угольника,  n > 3.  Известно, что существует ровно k равносторонних треугольников со стороной 1, вершины которых – заданные точки.
  а) Докажите, что  k < 2n/3.
  б) Приведите пример конфигурации, для которой  k > 0,666n.

ВверхВниз   Решение


Точка X, лежащая вне непересекающихся окружностей ω1 и ω2, такова, что отрезки касательных, проведённых из X к ω1 и ω2, равны. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника, образованного точками касания, совпадает с точкой пересечения общих внутренних касательных к ω1 и ω2.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 125]      



Задача 66981

Темы:   [ Радикальная ось ]
[ Теорема синусов ]
[ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Секущая пересекает первую окружность в точках A1,B1, а вторую – в точках A2,B2. Вторая секущая пересекает первую окружность в точках C1,D1, а вторую – в точках C2,D2. Докажите, что точки A1C1B2D2, A1C1A2C2, A2C2B1D1, B2D2B1D1 лежат на одной окружности, соосной с данными двумя.
Прислать комментарий     Решение


Задача 108682

Темы:   [ Радикальная ось ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Теорема синусов ]
[ Вспомогательная окружность ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Точка X, лежащая вне непересекающихся окружностей ω1 и ω2, такова, что отрезки касательных, проведённых из X к ω1 и ω2, равны. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника, образованного точками касания, совпадает с точкой пересечения общих внутренних касательных к ω1 и ω2.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66784

Темы:   [ Радикальная ось ]
[ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

В треугольнике ABC AH1 и BH2 – высоты; касательная к описанной окружности в точке A пересекает BC в точке S1, а касательная в точке B пересекает AC в точке S2; T1 и T2 – середины отрезков AS1 и BS2. Докажите, что T1T2, AB и H1H2 пересекаются в одной точке.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66808

Темы:   [ Радикальная ось ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Юдин Ф.

Вписанная окружность ω треугольника ABC касается его сторон AC и AB в точках E и F соответственно. Точки X,Y на ω таковы, что BXC=BYC=90. Докажите, что прямые EF и XY пересекаются на средней линии треугольника ABC.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56714

Темы:   [ Радикальная ось ]
[ Метод координат на плоскости ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10

На плоскости даны две неконцентрические окружности S1 и S2. Докажите, что геометрическим местом точек, для которых степень относительно S1 равна степени относительно S2, является прямая.



Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 125]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .