ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Версия для печати
Убрать все задачи Ненулевые числа a, b, c таковы, что каждые два из трёх уравнений ax11 + bx4 + c = 0, bx11 + cx4 + a = 0, cx11 + ax4 + b = 0 имеют общий корень. Докажите, что все три уравнения имеют общий корень. На плоскости задано n точек, являющихся вершинами выпуклого n-угольника, n > 3. Известно, что существует ровно k равносторонних треугольников со стороной 1, вершины которых – заданные точки. На доске нарисован выпуклый 2011-угольник. Петя последовательно проводит в нём диагонали так, чтобы каждая вновь проведённая диагональ пересекала по внутренним точкам не более одной из проведённых ранее диагоналей. Какое наибольшее количество диагоналей может провести Петя? Точка X, лежащая вне непересекающихся окружностей ω1 и ω2, такова, что отрезки касательных, проведённых из X к ω1 и ω2, равны. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника, образованного точками касания, совпадает с точкой пересечения общих внутренних касательных к ω1 и ω2. |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 125]
Секущая пересекает первую окружность в точках A1,B1, а вторую – в точках A2,B2. Вторая секущая пересекает первую окружность в точках C1,D1, а вторую – в точках C2,D2. Докажите, что точки A1C1∩B2D2, A1C1∩A2C2, A2C2∩B1D1, B2D2∩B1D1 лежат на одной окружности, соосной с данными двумя.
Точка X, лежащая вне непересекающихся окружностей ω1 и ω2, такова, что отрезки касательных, проведённых из X к ω1 и ω2, равны. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника, образованного точками касания, совпадает с точкой пересечения общих внутренних касательных к ω1 и ω2.
В треугольнике ABC AH1 и BH2 – высоты; касательная к описанной окружности в точке A пересекает BC в точке S1, а касательная в точке B пересекает AC в точке S2; T1 и T2 – середины отрезков AS1 и BS2. Докажите, что T1T2, AB и H1H2 пересекаются в одной точке.
Вписанная окружность ω треугольника ABC касается его сторон AC и AB в точках E и F соответственно. Точки X,Y на ω таковы, что ∠BXC=∠BYC=90∘. Докажите, что прямые EF и XY пересекаются на средней линии треугольника ABC.
На плоскости даны две неконцентрические
окружности S1 и S2. Докажите, что геометрическим местом точек,
для которых степень относительно S1 равна степени
относительно S2, является прямая.
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 125]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке