Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 11 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Число умножили на сумму его цифр и получили 2008. Найдите это число.

Вниз   Решение


Даны положительные числа  a1, a2, ..., an.  Известно, что  a1 + a2 + ... + an ≤ ½.  Докажите, что  (1 + a1)(1 + a2)...(1 + an) < 2.

ВверхВниз   Решение


Автор: Сонкин М.

Пусть O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, SA, SB, SC – окружности с центром O, касающиеся сторон BC, CA и AB соответственно. Докажите, что сумма трёх углов: между касательными к SA, проведёнными из точки A, к SB – из точки B, и к SC – из точки C, равна 180°.

ВверхВниз   Решение


Пусть a, b, c – положительные числа, сумма которых равна 1. Докажите неравенство:  

ВверхВниз   Решение


Паша записал на доске пример на сложение, после чего заменил некоторые цифры буквами, причём одинаковые цифры – одинаковыми буквами, а различные цифры – различными буквами. У него получилось:  КРОСС + 2011 = СТАРТ.  Докажите, что Паша ошибся.

ВверхВниз   Решение


Дан равносторонний треугольник ABC. Для произвольной точки P внутри треугольника рассмотрим точки A' и C' пересечения прямых AP с BC и CP с BA соответственно. Найдите геометрическое место точек P, для которых отрезки AA' и CC' равны.

ВверхВниз   Решение


На плоскости дан угол и точка К внутри него. Доказать, что найдётся точка М, обладающая следующим свойством: если произвольная прямая, проходящая через К, пересекает стороны угла в точках А и В, то МК является биссектрисой угла АМВ.

ВверхВниз   Решение


Через вершины B и C треугольника ABC проведена окружность, которая пересекает сторону AB в точке K и сторону AC в точке L. Найдите AB, если AK = KB, AL = l, $ \angle$BCK = $ \alpha$, $ \angle$CBL = $ \beta$.

ВверхВниз   Решение


Дан квадратный трёхчлен  f(x) = x² + ax + b.  Уравнение  f(f(x)) = 0  имеет четыре различных действительных корня, сумма двух из которых равна  –1. Докажите, что  b ≤ – ¼.

ВверхВниз   Решение


Вписанная окружность треугольника ABC  (AB > BC)  касается сторон AB и AC в точках P и Q соответственно, RS – средняя линия, параллельная стороне AB, T – точка пересечения прямых PQ и RS. Докажите, что точка T лежит на биссектрисе угла B треугольника ABC.

ВверхВниз   Решение


Показать, что если  a > b > 0,  то разность между средним арифметическим и средним геометрическим этих чисел находится между     и  

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 258]      



Задача 109015

Темы:   [ Средние величины ]
[ Классические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Показать, что если  a > b > 0,  то разность между средним арифметическим и средним геометрическим этих чисел находится между     и  

Прислать комментарий     Решение

Задача 115920

Темы:   [ Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников ]
[ Неравенство Коши ]
[ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Внутри стороны BC правильного треугольника ABC взята точка D. Прямая, проходящая через точку C и параллельная AD, пересекает прямую AB в точке E. Докажите, что  

Прислать комментарий     Решение

Задача 35052

Темы:   [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]
[ Классические неравенства ]
[ Дискретное распределение ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

В классе 30 учеников. Докажите, что вероятность того, что у каких-нибудь двух учеников совпадают дни рождения, составляет больше 50%.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61415

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Классические неравенства ]
[ Неравенство Иенсена ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Докажите, что если  α < β,   то  Sα(x) ≤ Sβ(x),  причём равенство возможно только когда  x1 = x2 = ... = xn.
Определение средних степенных Sα(x) можно посмотреть в справочнике.
Прислать комментарий     Решение


Задача 61425

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Классические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Выведите из неравенства Мюрхеда (задача 61424) неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 258]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .