Каталог по темам

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 52]

Задача 109198

Темы:	[	Комбинаторика орбит	]
	[	Классическая комбинаторика (прочее)	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Шаповалов А.В.

Скажем, что колода из 52 карт сложена правильно, если каждая пара лежащих рядом карт совпадает по масти или достоинству, то же верно для верхней и нижней карты, и наверху лежит туз пик. Докажите, что число способов сложить колоду правильно
а) делится на 12!;
б) делится на 13!.

Прислать комментарий

Решение

Задача 76508

Темы:	[	Системы алгебраических нелинейных уравнений	]
	[	Методы решения задач с параметром	]
	[	Графики и ГМТ на координатной плоскости	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Система уравнений второго порядка
x² – y² = 0,
(x – a)² + y² = 1
имеет, вообще говоря, четыре решения. При каких значениях a число решений системы уменьшается до трёх или до двух?

Прислать комментарий

Решение

Задача 60489

Темы:	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Уравнения в целых числах	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

a, b, c – целые числа; a и b отличны от нуля.
Докажите, что уравнение ax + by = c имеет решения в целых числах тогда и только тогда, когда c делится на d = НОД(a, b).

Прислать комментарий

Решение

Задача 60525

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Пусть a и b – натуральные взаимно простые числа. Рассмотрим точки плоскости с целыми координатами (x, y), лежащие в полосе 0 ≤ x ≤ b – 1. Каждой такой точке припишем целое число N(x, y) = ax + by.
а) Докажите, что для каждого натурального c существует ровно одна точка (x, y) (0 ≤ x ≤ b – 1), для которой N(x, y) = c.
б) Теорема Сильвестра. Докажите, что наибольшее c, для которого уравнение ax + by = c не имеет решений в целых неотрицательных числах, имеет вид
c = ab – a – b.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61348

Темы:	[	Системы линейных уравнений	]
	[	Методы решения задач с параметром	]
	[	Теорема Безу. Разложение на множители	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Исследуйте системы уравнений:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 52]