Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пусть $I$ – центр вписанной окружности неравнобедренного треугольника $ABC$. Через $A_1$ обозначим середину дуги $BC$ описанной окружности треугольника $ABC$, не содержащей точки $A$, а через $A_2$ – середину дуги $BAC$. Перпендикуляр, опущенный из точки $A_1$ на прямую $A_2I$, пересекает прямую $BC$ в точке $A'$. Аналогично определяются точки $B'$ и $C'$.
  а) Докажите, что точки $A'$, $B'$ и $C'$ лежат на одной прямой.
  б) Докажите, что эта прямая перпендикулярна прямой $OI$, где $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$.

   Решение

---

Найдите отношение сторон треугольника, одна из медиан которого делится вписанной окружностью на три равные части.

   Решение

---

Выпуклая фигура F обладает следующим свойством: любой правильный треугольник со стороной 1 можно параллельно перенести так, что все его вершины попадут на границу F. Обязательно ли F – круг?

   Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 208]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66027

Темы:   [ Выпуклые многоугольники ] [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Индукция в геометрии ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Выпуклый многоугольник разрезан непересекающимися диагоналями на равнобедренные треугольники.
Докажите, что в этом многоугольнике найдутся две равные стороны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66110

Темы:   [ Невыпуклые многоугольники ] [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Можно ли нарисовать на клетчатой бумаге многоугольник и поделить его на две равные части разрезом такой формы, как показано на рисунке
  а) слева;  б) в центре;  в) справа?

(Во всех пунктах разрез лежит внутри многоугольника, на границу выходят только концы разреза. Стороны многоугольника и звенья разреза идут по линиям сетки, маленькие звенья в два раза короче больших.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98521

Темы:   [ Выпуклые многоугольники ] [ Разные задачи на разрезания ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

На доске нарисовали выпуклый многоугольник. В нём провели несколько диагоналей, не пересекающихся внутри него, так что он оказался разбит на треугольники. Затем возле каждой вершины записали число треугольников, примыкающих к этой вершине, после чего все диагонали стерли. Можно ли по оставшимся возле вершин числам восстановить стёртые диагонали?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109497

Темы:   [ Выпуклые и невыпуклые фигуры (прочее) ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Круг, сектор, сегмент и проч. ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Выпуклая фигура F обладает следующим свойством: любой правильный треугольник со стороной 1 можно параллельно перенести так, что все его вершины попадут на границу F. Обязательно ли F – круг?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115888

Темы:   [ Выпуклые многоугольники ] [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

На плоскости задано n точек, являющихся вершинами выпуклого n-угольника,  n > 3.  Известно, что существует ровно k равносторонних треугольников со стороной 1, вершины которых – заданные точки.
  а) Докажите, что  k < ²ⁿ/₃.
  б) Приведите пример конфигурации, для которой  k > 0,666n.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 208]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями