Каталог по темам

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 52]

Задача 109844

Темы:	[	Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов	]
	[	Свойства коэффициентов многочлена	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Гарбер А.

Известно, что многочлен (x + 1)ⁿ – 1 делится на некоторый многочлен P(x) = x^k + c_k–1x^k–1 + c_k–2x^k–2 + ... + c₁x + c₀ чётной степени k, у которого все коэффициенты – целые нечётные числа. Докажите, что n делится на k + 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60985

[Правило знаков Декарта]

Темы:	[	Многочлены (прочее)	]
	[	Свойства коэффициентов многочлена	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Докажите, что количество положительных корней многочлена f(x) = a_nxⁿ + ... + a₁x + a₀ не превосходит числа перемен знака в последовательности a_n, ..., a₁, a₀.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109775

Темы:	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Свойства коэффициентов многочлена	]
	[	Системы счисления (прочее)	]
	[	Деление с остатком	]
	[	Метод спуска	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Храбров А.

Даны многочлены f(x) и g(x) с целыми неотрицательными коэффициентами, m – наибольший коэффициент многочлена f. Известно, что для некоторых натуральных чисел a < b имеют место равенства f(a) = g(a) и f(b) = g(b). Докажите, что если b > m, то многочлены f и g совпадают.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61002

[Формула Тейлора для многочленов]

Темы:	[	Теоремы Тейлора и приближения функций	]
	[	Многочлен n-й степени имеет не более n корней	]
	[	Свойства коэффициентов многочлена	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Докажите, что любой многочлен P(x) степени n можно единственным образом разложить по степеням x – c:

P(x) =

c_k(x – c)^k,

причем коэффициенты c_k могут быть найдены по формуле

c_k =

n).

Прислать комментарий

Решение

Задача 110002

Темы:	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Монотонность и ограниченность	]
	[	Свойства коэффициентов многочлена	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Голованов А.С.

Для некоторого многочлена существует бесконечное множество его значений, каждое из которых многочлен принимает по крайней мере в двух целочисленных точках. Докажите, что существует не более одного значения, которое многочлен принимает ровно в одной целой точке.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 52]