Каталог по темам

Задачи

Страница: << 143 144 145 146 147 148 149 >> [Всего задач: 769]

Задача 52728

Темы:	[	Вневписанные окружности	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]
	[	Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности)	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Площадь треугольника ABC равна 2 $\sqrt{3}$ - 3, а угол BAC равен 60^o. Радиус окружности, касающейся стороны BC и продолжения сторон AB и AC, равен 1. Найдите углы ABC и ACB данного треугольника.

Прислать комментарий Решение

Задача 109809

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Конкуррентность высот. Углы между высотами.	]
	[	Окружность, вписанная в угол	]
	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Перенос помогает решить задачу	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Емельянов Л.А.

Четырехугольник ABCD описан около окружности. Биссектрисы внешних углов A и B пересекаются в точке K , внешних углов B и C – в точке L , внешних углов C и D – в точке M , внешних углов D и A – в точке N . Пусть K₁ , L₁ , M₁ , N₁ – точки пересечения высот треугольников ABK , BCL , CDM , DAN соответственно. Докажите, что четырехугольник K₁L₁M₁N₁ – параллелограмм.

Прислать комментарий Решение

Задача 64354

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Радикальная ось	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Пастор А.

Внутри вписанного четырёхугольника ABCD отмечены такие точки P и Q, что ∠PDC + ∠PCB = ∠PAB + ∠PBC = ∠QCD + ∠QDA = ∠QBA + ∠QAD = 90°.
Докажите, что прямая PQ образует равные углы с прямыми AD и BC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64985

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Теорема Паскаля	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Мокин В.

На стороне AB треугольника ABC взята точка D. В угол ADC вписана окружность, касающаяся изнутри описанной окружности треугольника ACD, а в угол BDC – окружность, касающаяся изнутри описанной окружности треугольника BCD. Оказалось, что эти окружности касаются отрезка CD в одной и той же точке X. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из X на AB, проходит через центр вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66169

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Углы между биссектрисами	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Прямые, касающиеся окружностей (прочее)	]
	[	Метрические соотношения (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Кузнецов А.

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Обозначим через I_A, I_B, I_C и I_D центры вписанных окружностей ω_A, ω_B, ω_C и ω_D треугольников DAB, ABC, BCD и CDA соответственно. Оказалось, что ∠BI_AA + ∠I_CI_AI_D = 180°. Докажите, что ∠BI_BA + ∠I_CI_BI_D = 180°.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 143 144 145 146 147 148 149 >> [Всего задач: 769]