Страница:
<< 10 11 12 13 14
15 16 >> [Всего задач: 79]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
|
Рассмотрим на клетчатой плоскости такие ломаные с началом в точке (0, 0) и вершинами в целых точках, что каждое очередное звено идёт по сторонам клеток либо вверх, либо вправо. Каждой такой ломаной соответствует червяк – фигура, состоящая из клеток плоскости, имеющих хотя бы одну общую точку с этой ломаной. Докажите, что червяков, которые можно разбить на двуклеточные доминошки ровно $n > 2$ различными способами, столько же, сколько натуральных чисел, меньших $n$ и взаимно простых с $n$. (Червяки разные, если состоят из разных наборов клеток.)
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
Для произвольного числа $x$ рассмотрим сумму
$$Q(x)=\lfloor x\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{4}\right\rfloor+\ldots+\left\lfloor\frac{x}{10000}\right\rfloor.$$
Найдите разность $Q(2023) – Q(2022)$. (Здесь $\lfloor x\rfloor$ обозначает целую часть числа $x$, то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Дано натуральное число $n$. Для произвольного числа $x$ рассмотрим сумму
$$
Q(x)=\lfloor x\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{4}\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{x}{10^{n}}\right\rfloor .
$$
Найдите разность $Q\left(10^{n}\right)-Q\left(10^{n}-1\right)$. (Здесь $\lfloor x\rfloor$ обозначает целую часть числа $x$, то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
Натуральные числа x, y, z (x > 2, y > 1) таковы, что xy + 1 = z².
Обозначим через p количество различных простых делителей числа x, через q – количество различных простых делителей числа y. Докажите, что p ≥ q + 2.
|
|
|
Сложность: 2
Классы: 6,7,8
|
Простые числа имеют только два различных делителя – единицу и само это число. А какие числа имеют только три различных делителя?
Страница:
<< 10 11 12 13 14
15 16 >> [Всего задач: 79]
Фильтр
Решение 
