Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 11 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Найдите сумму квадратов расстояний от вершин правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса R, до произвольной прямой, проходящей через центр многоугольника.

Вниз   Решение


Предположим, что цепные дроби   сходятся. Согласно задаче 61330, они будут сходиться к корням многочлена  x² – px + q = 0.  С другой стороны к тем же корням будут сходиться и последовательности, построенные по методу Ньютона (см. задачу 61328):   xn+1 = xn = .  Докажите, что если x0 совпадает с нулевой подходящей дробью цепной дроби α или β, то числа x1, x2, ... также будут совпадать с подходящими дробями к α или β.

ВверхВниз   Решение


В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CK из вершины прямого угла C, а в треугольнике ACK – биссектриса CE. Докажите, что  CB = BE.

ВверхВниз   Решение


Пусть многочлен  P(x) = xn + an–1xn–1 + ... + a1x + a0  имеет корни  x1, x2, ..., xn,  причем  |x1| > |x2| > ... > |xn|.  В задаче  60965 был предъявлен способ построения многочлена Q(x) степени n, корнями которого являются числа     На основе этого рассуждения Лобачевский придумал метод для приближенного поиска корней многочлена P(x). Он заключается в следующем. Строится такая последовательность многочленов  P0(x), P1(x), P2(x), ...,  что  P0(x) = P(x)  и многочлен Pk(x) имеет корни     Пусть     Докажите, что

  а)  

  б)  

ВверхВниз   Решение


Докажите, что  
Числа Pkl(n) определены в задаче 61525.

ВверхВниз   Решение


Внутри отрезка АС выбрана произвольная точка В и построены окружности с диаметрами АВ и ВС. На окружностях (в одной полуплоскости относительно АС) выбраны соответственно точки M и L так, что  ∠MBA = ∠LBC.  Точки K и F отмечены соответственно на лучах ВМ и BL так, что
BK = BC  и  BF = AB. Докажите, что точки M, K, F и L лежат на одной окружности.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что для любых комплексных чисел z, w справедливо равенство  ezew = ez+w.

ВверхВниз   Решение


Точка I – центр вписанной окружности треугольника ABC. Внутри треугольника выбрана точка P такая, что

ÐPBA + ÐPCA = ÐPBC + ÐPCB.

Докажите, что APAI, причём равенство выполняется тогда и только тогда, когда P совпадает с I.

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC с прямым углом C проведены высота CD и биссектриса CF; DK и DL – биссектрисы треугольников BDC и ADC.
Докажите, что CLFK – квадрат.

ВверхВниз   Решение


В выпуклом четырёхугольнике ABCD, диагонали которого пересекаются в точке O, равны между собой углы BAC и CBD, а также углы BCA и CDB. Докажите, что касательные, проведённые из точек B и C к описанной окружности треугольника AOD, равны.

ВверхВниз   Решение


Дана правильная треугольная пирамида SABC . Точка S – вершина пирамиды, SA = 2 , BC = 3 , BM – медиана основания пирамиды, AR – высота треугольника ASB . Найдите длину отрезка MR .

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 540]      



Задача 110437

Темы:   [ Правильная пирамида ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Теорема косинусов ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Дана правильная треугольная пирамида SABC . Точка S – вершина пирамиды, AB = 1 , AS = 2 , BM – медиана треугольника ABC , AD – биссектриса треугольника SAB . Найдите длину отрезка DM .
Прислать комментарий     Решение


Задача 110438

Темы:   [ Правильная пирамида ]
[ Теорема косинусов ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Дана правильная треугольная пирамида SABC . Точка S – вершина пирамиды, SA = 2 , BC = 3 , BM – медиана основания пирамиды, AR – высота треугольника ASB . Найдите длину отрезка MR .
Прислать комментарий     Решение


Задача 110488

Темы:   [ Правильная пирамида ]
[ Двугранный угол ]
[ Построения на проекционном чертеже ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD , каждое ребро которой равно 2, построено сечение плоскостью, параллельной диагонали основания AC и боковому ребру SB пирамиды и пересекающей ребро AB . Найдите периметр многоугольника, полученного в этом сечении, если нижнее основание сечения равно .
Прислать комментарий     Решение


Задача 110489

Темы:   [ Правильная пирамида ]
[ Двугранный угол ]
[ Построения на проекционном чертеже ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD , каждое ребро которой равно b , построено сечение плоскостью, параллельной диагонали основания BD и боковому ребру SA и пересекающей ребро AB пирамиды. Периметр многоугольника, полученного в этом сечении, равен 2(2++) . Найдите численное значение b , если нижнее основание сечения равно .
Прислать комментарий     Решение


Задача 111097

Темы:   [ Правильная пирамида ]
[ Двугранный угол ]
[ Углы между прямыми и плоскостями ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Угол бокового ребра с плоскостью основания правильной треугольной пирамиды равен α . Найдите угол боковой грани с плоскостью основания.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 540]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .