Пусть A < B < C < 90^o. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника ABC лежит внутри треугольника BOH, где O — центр описанной окружности, H — точка пересечения высот.

   Решение

В правильной треугольной пирамиде SABC ( S – вершина) сторона основания равна 6, высота пирамиды SH равна . Через точку B перпендикулярно прямой AS проходит плоскость, которая пересекает отрезок SH в точке O . Точки P и Q расположены на прямых AS и CB соответственно, причём прямая PQ касается сферы радиуса с центром в точке O . Найдите наименьшую длину отрезка PQ .

   Решение

На столе лежат несколько тонких спичек одинаковой длины. Всегда ли можно раскрасить их концы  а) в 2,   б) в 3 цвета так, чтобы два конца каждой спички были разных цветов, а каждые два касающихся конца (разных спичек) – одного и того же цвета?

   Решение

Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 9, 12 и 15, а её высота образует с высотами боковых граней (опущенных из той же вершины) одинаковые углы, не меньшие 60^o . Какой наибольший объём может иметь такая пирамида?

   Решение

Основанием прямоугольного параллелепипеда АВСDA₁B₁C₁D₁ является квадрат АВСD.
Найдите наибольшую возможную величину угла между прямой BD₁ и плоскостью ВDС₁.

   Решение

Отрезок AE является медианой равнобедренного треугольника ABC ( AB= AC) . Окружность проходит через точки A , C , E и пересекает сторону AB в точке D так, что AD:AB=7:9 . Найдите отношение длины окружности к периметру треугольника ABC .

   Решение

В некотором городе сеть автобусных маршрутов устроена так, что каждые два маршрута имеют ровно одну общую остановку, и на каждом маршруте есть хотя бы 4 остановки. Докажите, что все остановки можно распределить между двумя компаниями так, что на каждом маршруте найдутся остановки обеих компаний.

   Решение

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD ( S – вершина) сторона основания равна 8 , высота пирамиды SH равна 8. Точки E и F – середины рёбер AB и AD соответственно. Через точку F перпендикулярно прямой SC проходит плоскость, которая пересекает отрезок SH в точке O . Точки P и Q расположены на прямых SC и EF соответственно, причём прямая PQ касается сферы радиуса с центром в точке O . Найдите наименьшую длину отрезка PQ .

   Решение

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 127]      

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD ( S – вершина) сторона основания равна 8 , высота пирамиды SH равна 8. Точки E и F – середины рёбер AB и AD соответственно. Через точку F перпендикулярно прямой SC проходит плоскость, которая пересекает отрезок SH в точке O . Точки P и Q расположены на прямых SC и EF соответственно, причём прямая PQ касается сферы радиуса с центром в точке O . Найдите наименьшую длину отрезка PQ .

Прислать комментарий

Решение

Точка D является серединой бокового ребра BB1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 . На боковой грани AA1C1C взята точка E , на основании ABC – точка F так, что прямые EB1 и FD параллельны. Какой наибольший объём может иметь призма ABCA1B1C1 , если EB1=1 , FD= , EF= ?

Прислать комментарий

Решение

Точка K является серединой бокового ребра AA1 правильной четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 . На боковой грани DD1C1C взята точка L , на основании ABCD – точка M так, что прямые A1L и KM параллельны. Какой наименьший объём может иметь призма ABCDA1B1C1D1 , если A1L= , KM=1 , ML= ?

Прислать комментарий

Решение

В правильной четырёхугольной пирамиде с высотой, не меньшей h , расположена полусфера радиуса 1 так, что её касаются все боковые грани пирамиды, а центр полусферы лежит на основании пирамиды. Найдите наименьшее возможное значение полной поверхности такой пирамиды.

Прислать комментарий

Решение

В правильной треугольной пирамиде SABCD с высотой, не меньшей h , расположена полусфера радиуса r= так, что её касаются все боковые грани пирамиды, а центр полусферы лежит на основании ABC пирамиды. Найдите наименьшее возможное значение объёма пирамиды.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 127]