Два квадрата BCDA и BKMN имеют общую вершину B. Докажите, что медиана BE треугольника ABK и высота BF треугольника CBN лежат на одной прямой. (Вершины обоих квадратов перечислены по часовой стрелке.)

   Решение

Найдите такое значение $a > 1$,  при котором уравнение  $a^x = \log_a x$  имеет единственное решение.

   Решение

В треугольник ABC вписана окружность. Пусть x — расстояние от вершины A до касания окружности со стороной AB, BC = a. Докажите, что x = p - a, где p — полупериметр треугольника.

   Решение

Пусть A', B', C', D', E', F' – середины сторон AB, BC, CD, DE, EF, FA произвольного выпуклого шестиугольника ABCDEF. Известны площади треугольников ABC', BCD', CDE', DEF', EFA', FAB'. Найдите площадь шестиугольника ABCDEF.

   Решение

Dписанная окружность треугольника ABC касается сторон AB, BC и AC в точках C₁, A₁ и B₁ соответственно. Известно, что  AA₁ = BB₁ = CC₁.  Докажите, что треугольник ABC правильный.

   Решение

Угол при вершине D трапеции ABCD с основаниями AD и BC равен 60^o. Найдите диагонали трапеции, если AD = 10, BC = 3 и CD = 4.

   Решение

Боковое ребро пирмиды разделено на 100 равных частей и через точки деления проведены плоскости, параллельные основанию. Найдите отношение площадей наибольшего и наименьшего из получившихся сечений.

   Решение

В треугольнике известны сторона a и два прилежащих к ней угла β и γ. Найдите биссектрису, проведённую из вершины третьего угла.

   Решение

Найдите объём правильной треугольной пирамиды с боковым ребром b и углом α бокового ребра с плоскостью основания.

   Решение

Основанием пирамиды служит многоугольник, около которого можно описать окружность. Докажите, что около этой пирамиды можно описать сферу. Найдите радиус этой сферы, если радиус окружности, описанной около основания пирамиды, равен r, высота равна h, а основание высоты совпадает с вершиной основания пирамиды.

   Решение

Дана последовательность ..., a_-n,..., a_-1, a₀, a₁,..., a_n,... бесконечная в обе стороны, причём каждый её член равен суммы двух соседних. Доказать, что если какие-то два её члена равны, то в ней есть бесконечное число пар равных между собой чисел. (Пояснение: два члена, про которые известно, что они равны, не обязательно соседние).

   Решение

Из всякого ли выпуклого четырехугольника можно вырезать параллелограмм, три вершины которого совпадают с тремя вершинами этого четырехугольника?

   Решение

В некотором царстве, в некотором государстве было выпущено неограниченное количество монет достоинством в n₁, n₂, n₃, ... копеек, где
n₁ < n < ₂ < n₃ < ...  – бесконечная последовательность, состоящая из натуральных чисел. Докажите, что эту последовательность можно оборвать, то есть найдётся такое число N, что любую сумму, которую можно уплатить без сдачи выпущенными монетами, на самом деле можно уплатить только монетами достоинством в n₁, n₂, ..., n_N копеек.

   Решение

Шеренга солдат называется неправильной, если никакие три подряд стоящих солдата не стоят по росту (ни в порядке возрастания, ни в порядке убывания). Сколько неправильных шеренг можно построить из n солдат разного роста, если

  а)  n = 4;

  б)  n = 5?

   Решение

Докажите, что выражение  x⁵ + 3x⁴y – 5x³y² – 15x²y³ + 4xy⁴ + 12y⁵  не равно 33 ни при каких целых значениях x и y.

   Решение

В треугольнике даны два угла β и γ и радиус R описанной окружности. Найдите радиус вписанной окружности.

   Решение

На диагоналях AC и CE правильного шестиугольника ABCDEF взяты точки M и N соответственно, причём  ^AM/_AC = ^CN/_CE = λ.  Известно, что точки B, M и N лежат на одной прямой. Найдите λ.

   Решение

Стороны параллелограмма равны a и b , а острый угол между диагоналями равен α . Найдите площадь параллелограмма.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]      

Из середины основания треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Докажите, что площадь полученного таким образом параллелограмма равна половине площади треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Стороны параллелограмма равны a и b , а острый угол между диагоналями равен α . Найдите площадь параллелограмма.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что все выпуклые четырёхугольники, имеющие общие середины сторон, равновелики.

Прислать комментарий

Решение

В параллелограмме ABCD угол BAD равен 60^o, а сторона AB равна 3. Биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке E. Найдите площадь треугольника ABE.

Прислать комментарий

Решение

Площадь данного выпуклого четырёхугольника равна S. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в серединах сторон данного.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]