Докажите равенство:  
(Сумма, стоящая в левой части, может быть интерпретирована, как сумма элементов треугольника Паскаля, стоящих в одной диагонали.)

   Решение

В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что площадь треугольника ODC (O – точка пересечения диагоналей) есть среднее пропорциональное между площадями треугольников BOC и AOD. Докажите, что ABCD – трапеция или параллелограмм.

   Решение

Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке.
Докажите, что эта точка, основание одной из высот и три точки, делящие другие высоты в отношении   2 : 1,  считая от вершин, лежат на одной сфере.

   Решение

Найдите объём правильной треугольной пирамиды с высотой h и радиусом R описанной сферы.

   Решение

Перпендикуляры, опущенные из внутренней точки равностороннего треугольника на его стороны, и отрезки, соединяющие эту точку с вершинами, разбивают треугольник на шесть прямоугольных треугольников. Докажите, что сумма площадей трёх из них, взятых через один, равна сумме площадей трёх остальных.

   Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 101]      

Стороны AB и CD параллелограмма ABCD площади 1 разбиты на n равных частей, AD и BC – на m равных частей. Точки деления соединены так, как показано на рис.1. Чему равны площади образовавшихся при этом маленьких параллелограммов?

Прислать комментарий

Решение

Перпендикуляры, опущенные из внутренней точки равностороннего треугольника на его стороны, и отрезки, соединяющие эту точку с вершинами, разбивают треугольник на шесть прямоугольных треугольников. Докажите, что сумма площадей трёх из них, взятых через один, равна сумме площадей трёх остальных.

Прислать комментарий

Решение

Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Диагонали AD , BE и CF являются диаметрами этой окружности. Докажите, что площадь шестиугольника ABCDEF равна удвоенной площади треугольника ACE .

Прислать комментарий

Решение

Перпендикуляры, опущенные из внутренней точки равностороннего треугольника, на его стороны, и отрезки, соединяющие эту точку с вершинами, разбивают треугольник на шесть прямоугольных треугольников. Докажите, что сумма площадей трёх из них, взятых через один, равна сумме площадей трёх остальных.

Прислать комментарий

Решение

Три прямые, параллельные сторонам треугольника ABC и проходящие через одну точку, отсекают от треугольника ABC трапеции. Три диагонали этих трапеций, не имеющие общих концов, делят треугольник на семь частей, из которых четыре — треугольники. Докажите, что сумма площадей трёх из этих треугольников, прилегающих к сторонам треугольника ABC, равна площади четвёртого.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 101]