Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 28]

Задача 115615

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

На сторонах AB, AC, BC равностороннего треугольника ABC, сторона которого равна 2, выбрали точки C₁, B₁, A₁ соответственно.
Какое наибольшее значение может принимать сумма радиусов окружностей, вписанных в треугольники AB₁C₁, A₁BC₁, A₁B₁C.

Прислать комментарий

Решение

Задача 77874

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями	]
	[	Гомотетичные окружности	]
	[	Неравенства для элементов треугольника (прочее)	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Доказать, что в любом треугольнике имеет место неравенство: R $\ge$ 2r (R и r — радиусы описанного и вписанного кругов соответственно), причем равенство R = 2r имеет место только для правильного треугольника.

Прислать комментарий Решение

Задача 111576

Темы:	[	Неравенства для углов треугольника	]
	[	Неравенства с медианами	]
	[	Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Докажите, что если α , β и γ – углы остроугольного треугольника, то sin α+ sin β+ sin γ>2 .

Прислать комментарий Решение

Задача 67348

Темы:	[	Теорема синусов	]
	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]
	[	Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Панов М.Ю.

Разность двух углов треугольника больше $90^{\circ}$. Докажите, что отношение радиусов его описанной и вписанной окружностей больше 4.

Прислать комментарий Решение

Задача 57446

Темы:	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Симметричные неравенства для углов треугольника	]
	[	Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями	]
	[	Синусы и косинусы углов треугольника	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

а) 1 < cos $\alpha$ + cos $\beta$ + cos $\gamma$ $\leq$ 3/2;
б) 1 < sin( $\alpha$ /2) + sin( $\beta$ /2) + sin( $\gamma$ /2) $\leq$ 3/2.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 28]