Версия для печати
Убрать все задачи

---

Каждая из 9 прямых разбивает квадрат на два четырхугольника, площади которых относятся как 2:3. Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.

   Решение

---

B пирамиду, основанием которой служит параллелограмм, можно вписать сферу.
Докажите, что суммы площадей её противоположных боковых граней равны.

   Решение

---

Найдите производящие функции последовательностей многочленов Чебышева первого и второго рода:

Определения многочленов Чебышева можно найти в справочнике.

   Решение

---

B основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит четырёхугольник ABCD, диагонали которого перпендикулярны и пересекаются в точке P, и SP является высотой пирамиды. Докажите, что проекции точки P на боковые грани пирамиды лежат на одной окружности.

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 51]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116076

Темы:   [ Четырехугольная пирамида ] [ Цилиндр ] [ Правильная пирамида ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Bсе ребра правильной четырехугольной пирамиды равны 1, а все вершины лежат на боковой поверхности (бесконечного) прямого кругового цилиндра радиуса R. Найдите все возможные значения R.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116176

Темы:   [ Четырехугольная пирамида ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Теорема Птолемея ] [ Стереографическая проекция ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

B основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит четырёхугольник ABCD, диагонали которого перпендикулярны и пересекаются в точке P, и SP является высотой пирамиды. Докажите, что проекции точки P на боковые грани пирамиды лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116193

Темы:   [ Четырехугольная пирамида ] [ Сфера, вписанная в пирамиду ] [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ] [ Сечения, развертки и остовы (прочее) ] [ Перегруппировка площадей ] [ Площадь четырехугольника ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

B пирамиду, основанием которой служит параллелограмм, можно вписать сферу.
Докажите, что суммы площадей её противоположных боковых граней равны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115881

Темы:   [ Четырехугольная пирамида ] [ Сфера, вписанная в пирамиду ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Дана четырёхугольная пирамида, в которую можно вписать сферу. Точку касания этой сферы с основанием пирамиды спроектировали на рёбра основания. Докажите, что все проекции лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66665

Темы:   [ Четырехугольная пирамида ] [ Перпендикулярные прямые в пространстве ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Кристалл пирита представляет собой параллелепипед, на каждую грань которого нанесена штриховка.

На любых двух соседних гранях штриховка перпендикулярна. Существует ли выпуклый многогранник с числом граней, не равным $6$, грани которого можно заштриховать аналогичным образом?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 51]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями