Каталог по темам

Задачи

Страница: << 191 192 193 194 195 196 197 >> [Всего задач: 1005]

Задача 115868

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Свойства симметрии и центра симметрии	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Подобные треугольники	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Прокопенко Д.

В треугольнике ABC провели биссектрису CL. Точки A₁ и B₁ симметричны точкам A и B относительно прямой CL, A₂ и B₂ симметричны точкам A и B относительно точки L. Пусть O₁ и O₂ – центры описанных окружностей треугольников AB₁B₂ и BA₁A₂. Докажите, что углы O₁CA и O₂CB равны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116872

Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Признаки подобия	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Дана равнобокая трапеция ABCD (AD || BC). На дуге AD (не содержащей точек B и C) описанной окружности этой трапеции произвольно выбрана точка M. Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из вершин A и D на отрезки BM и CM, лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116897

Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Осевая и скользящая симметрии (прочее)	]
	[	Признаки равенства прямоугольных треугольников	]
	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Штейнгарц Л.

Квадратный лист бумаги согнули по прямой так, что одна из вершин квадрата оказалась на несмежной стороне. При этом образовалось три треугольника. В эти треугольники вписали окружности (см. рис.). Докажите, что радиус одной из этих окружностей равен сумме радиусов двух других.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116952

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Кожевников П.А.

Три попарно непересекающиеся окружности ω_x, ω_y, ω_z радиусов r_x, r_y, r_z лежат по одну сторону от прямой t и касаются её в точках X, Y, Z соответственно. Известно, что Y – середина отрезка XZ, r_x = r_z = r, а r_y > r. Пусть p – одна из общих внутренних касательных к окружностям ω_x и ω_y, а q – одна из общих внутренних касательных к окружностям ω_y и ω_z. В пересечении прямых p, q, t образовался неравнобедренный треугольник. Докажите, что радиус его вписанной окружности равен r.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64803

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	ГМТ - прямая или отрезок	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Tran Quang Hung

Пусть M – середина хорды AB окружности с центром O. Точка K симметрична M относительно O, P – произвольная точка окружности. Перпендикуляр к AB в точке A и перпендикуляр к PK в точке P пересекаются в точке Q. Точка H – проекция P на AB. Докажите, что прямая QB делит отрезок PH пополам.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 191 192 193 194 195 196 197 >> [Всего задач: 1005]