Каталог по темам

Задачи

Страница: << 193 194 195 196 197 198 199 >> [Всего задач: 1005]

Задача 65049

Темы:	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]
	[	Решение задач при помощи аффинных преобразований	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Авторы: Белухов Н., Маринов М.

Дан треугольник ABC и прямая l, пересекающая BC, CA и AB в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Точка A' – середина отрезка, соединяющего проекции A₁ на AB и AC. Аналогично определяются точки B' и C'.
а) Докажите, что A', B' и C' лежат на некоторой прямой l'.
б) Докажите, что, если l проходит через центр описанной окружности треугольника ABC, то l' проходит через центр его окружности девяти точек.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108226

Темы:	[	Вневписанные окружности	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Признаки подобия	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10

Автор: Емельянов Л.А.

Пусть A', B' и C' – точки касания вневписанных окружностей с соответствующими сторонами треугольника ABC. Описанные окружности треугольников A'B'C, AB'C' и A'BC' пересекают второй раз описанную окружность треугольника ABC в точках C₁, A₁ и B₁ соответственно. Докажите, что треугольник A₁B₁C₁ подобен треугольнику, образованному точками касания вписанной окружности треугольника с его сторонами.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109556

Темы:	[	Сфера, вписанная в тетраэдр	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Правильный тетраэдр	]
	[	Признаки равенства прямоугольных треугольников	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Терешин Д.А.

Высоты AA₁, BB₁, CC₁ и DD₁ тетраэдра ABCD пересекаются в центре H сферы, вписанной в тетраэдр A₁B₁C₁D₁.
Докажите, что тетраэдр ABCD – правильный.

Прислать комментарий

Решение

Задача 67377

Темы:	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Точка Микеля	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Теорема синусов	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Авторы: Векшин М., Кузнецов С.

Точка $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Прямые, проходящие через точку $A$ параллельно $BI$, $CI$ пересекают серединный перпендикуляр к $AI$ в точках $S$, $T$ соответственно. Прямые $BT$ и $CS$ пересекаются в точке $Y$, а точка $A^*$ такова, что $BICA^*$ параллелограмм. Докажите, что середина отрезка $YA^*$ лежит на вневписанной окружности, касающейся стороны $BC$.

Прислать комментарий Решение

Задача 73714

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Итерации	]
	[	Неравенства для углов треугольника	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Признаки подобия	]
	[	Сжимающие отображения и неподвижные точки	]
	[	Композиции движений. Теорема Шаля	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Васильев Н.Б.

Для каждого непрямоугольного треугольника T обозначим через T₁ треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T; через T₂ – треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T₁; аналогично определим треугольники T₃, T₄ и так далее. Каким должен быть треугольник T, чтобы
а) треугольник T₁ был остроугольным?
б) в последовательности T₁, T₂, T₃, ... встретился прямоугольный треугольник T_n (и таким образом треугольник T_n+1 не определён)?
в) треугольник T₃ был подобен треугольнику T?
г) Для каждого натурального числа n выясните, сколько существует неподобных друг другу треугольников T, для которых треугольник T_n подобен треугольнику Т.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 193 194 195 196 197 198 199 >> [Всего задач: 1005]