Фильтр
Выбрано 13 задач Убрать все задачи
Стороны правильного шестиугольника раскрашены через одну в красный и синий цвета. Докажите, что сумма расстояний от точки, лежащей внутри шестиугольника, до прямых, содержащих красные стороны, равна сумме расстояний от этой точки до прямых, содержащих синие стороны.
РешениеНайдите точку минимума функции y = (x+11)ex-11 .
РешениеДокажите тождество
РешениеИз середины M стороны AC треугольника ABC опущены перпендикуляры MD и ME на стороны AB и BC соответственно. Около треугольников ABE и BCD описаны окружности. Докажите, что расстояние между центрами этих окружностей равно AC/4.
РешениеДокажите неравенство для положительных значений переменных: (a + b + c + d)² ≤ 4(a² + b² + c² + d²).
РешениеВ бесконечной последовательности (xn) первый член x1 – рациональное число, большее 1, и xn+1 = xn + 1/[xn] при всех натуральных n.
Докажите, что в этой последовательности есть целое число.
РешениеОкружность проходит через соседние вершины M и N прямоугольника MNPQ. Длина касательной, проведённой из точки Q к окружности, равна 1, PQ = 2. Найдите все возможные значения, которые может принимать площадь прямоугольника MNPQ, если диаметр окружности равен .
РешениеИзвестно, что четыре синих треугольника на рисунке 1 равновелики.
а) Докажите что три красных четырёхугольника на этом рисунке также равновелики.
б) Найдите площадь одного четырёхугольника, если площадь одного синего треугольника равна 1.
РешениеПусть M – середина стороны BC параллелограмма ABCD. В каком отношении отрезок AM делит диагональ BD?
РешениеОпишите явный вид многочлена f(x) = f1(x) + f2(x) + ... + fn(x), где fi(x) – многочлены из задачи 61050.
РешениеВ пространстве дано несколько прямых, причём каждые две из них пересекаются.
Докажите, что либо все прямые проходят через одну точку, либо все прямые лежат в одной плоскости.
РешениеВ турнире по игре в "крестики – нолики", проведённом по системе "проиграл – выбыл", участвовали 18 школьников. Каждый день играли одну партию, участников которой выбирали жребием из ещё не выбывших школьников. Каждый из шестерых школьников утверждает, что сыграл ровно четыре партии. Не ошибается ли кто-то из них?
РешениеВ классе больше 32, но меньше 40 человек. Каждый мальчик дружит с тремя девочками, а каждая девочка – с пятью мальчиками.
Сколько человек в классе?
Решение
Задачи
Задача 31083 |
|
|
В классе больше 32, но меньше 40 человек. Каждый мальчик дружит с тремя девочками, а каждая девочка – с пятью мальчиками.
Сколько человек в классе?
|
|
|
Решение |
Задача 32996 |
|
|
Несколько Совершенно Секретных Объектов соединены подземной железной дорогой таким образом, что каждый Объект напрямую соединён не более чем с тремя другими и от каждого Объекта можно добраться под землей до любого другого, сделав не более одной пересадки. Каково максимальное число Совершенно Секретных Объектов?
|
|
Решение |
Задача 32994 |
|
|
Выписать в ряд цифры от 1 до 9 (каждую по разу) так, чтобы каждые две подряд идущие цифры давали бы двузначное число, делящееся на 7 или на 13.
|
|
|
Решение |
Задача 30815 |
|
|
Каждое из рёбер полного графа с 6 вершинами покрашено в один из двух цветов.
Докажите, что есть три вершины, все рёбра между которыми – одного цвета.
|
|
|
Решение |
Задача 31363 |
|
|
а) В группе из четырёх человек, говорящих на разных языках, любые трое могут общаться (возможно, один переводит двум другим).
Доказать, что их можно разбить на пары, в каждой из которых имеется общий язык.
б) То же для группы из 100 человек.
в) То же для группы из 102 человек.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 85]
