Впишите в данный остроугольный треугольник ABC квадрат KLMN так, чтобы вершины K и N лежали на сторонах AB и AC, а вершины L и M — на стороне BC.

   Решение

а) Для данного треугольника ABC, все углы которого меньше  120^o, найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна.
б) Внутри треугольника ABC, все углы которого меньше  120^o, взята точка O, из которой его стороны видны под углом  120^o. Докажите, что сумма расстояний от точки O до вершин равна (a² + b² + c²)/2 + 2S.

   Решение

Если на каждой грани выпуклого многогранника выбрать по точке и провести из этой точки направленный перпендикулярно соответствующей грани во внешнюю сторону вектор, длина которого равна площади этой грани, то сумма всех таких векторов окажется равна нулю. Докажите это.

   Решение

У натурального числа A ровно 100 различных делителей (включая 1 и A). Найдите их произведение.

   Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 420]      

а) Назовите 10 первых натуральных чисел, имеющих нечётное число делителей (в число делителей включается единица и само число).

б) Попробуйте сформулировать и доказать правило, позволяющее найти следующие такие числа.

Прислать комментарий

Решение

Пусть a и b – целые числа. Докажите, что если  a² + 9ab + b²  делится на 11, то и  a² – b²  делится на 11.

Прислать комментарий

Решение

а) Можно ли разложить 20 монет достоинством в 1, 2, 3, ..., 19, 20 мунгу по трём карманам так, чтобы в каждом кармане оказалась одинаковая сумма денег?

б) А если добавить еще один тугрик? (Как известно, один тугрик равен ста мунгу.)

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что ни при каком натуральном m число  1998^m – 1  не делится на 1000^m – 1.

Прислать комментарий

Решение

У натурального числа A ровно 100 различных делителей (включая 1 и A). Найдите их произведение.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 420]