Дан треугольник $ABC$ и окружность $\gamma$ с центром в точке $A$, которая пересекает стороны $AB$ и $AC$. Пусть общая хорда описанной окружности треугольника и окружности $\gamma$ пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Отрезки $CX$ и $BY$ пересекают $\gamma$ в точках $S$ и $T$ соответственно. Описанные окружности треугольников $ACT$ и $BAS$ пересекаются в точках $A$ и $P$. Докажите, что прямые $CX$, $BY$, и $AP$ пересекаются в одной точке.

   Решение

Между двумя параллельными прямыми дана точка. С помощью циркуля и линейки постройте окружность, проходящую через эту точку и касающуюся данных прямых.

   Решение

Окружность, построенная на основании AD трапеции ABCD как на диаметре, проходит через середины боковых сторон AB и CD трапеции и касается основания BC. Найдите углы трапеции.

   Решение

Докажите, что все корни уравнения  a(z – b)ⁿ = c(z – d )ⁿ, где a, b, c, d – заданные комплексные числа, расположены на одной окружности или прямой.

   Решение

Сумма шестых степеней шести целых чисел на единицу больше, чем их ушестерённое произведение.
Докажите, что одно из чисел равно единице или минус единице, а остальные – нули.

   Решение

В остроугольном треугольнике MKN проведена биссектриса KL. Точка X на стороне MK такова, что  KX = KN.  Докажите, что прямые KO и XL перпендикулярны (O – центр описанной окружности треугольника MKN).

   Решение

Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $S$. Точки $X$, $Y$ на биссектрисе угла $S$ таковы, что $\angle AXC-\angle AYC=\angle ASC$. Докажите, что $\angle BXD-\angle BYD=\angle BSD$.

   Решение

Две окружности касаются внутренним образом в точке A. Из центра O большей окружности проведён радиус OB, касающийся меньшей окружности в точке C. Найдите BAC.

   Решение

Вершины M и N равнобедренного треугольника BMN  (BM = BN)  лежат соответственно на сторонах AD и CD квадрата ABCD. Докажите, что  MN || AC.

   Решение

Точки C и D лежат на окружности с диаметром AB и отличны от A и B. Прямые AC и BD пересекаются в точке P, а прямые AD и BC — в точке Q. Докажите, что AB перпендикулярно PQ.

   Решение

Компания из нескольких друзей вела переписку так, что каждое письмо получали все, кроме отправителя. Каждый написал одно и то же количество писем, в результате чего всеми вместе было получено 440 писем. Сколько человек могло быть в этой компании?

   Решение

В призму ABCA'B'C' вписана сфера, касающаяся боковых граней BCC'B', CAA'C, ABB'A' в точках A₀, B₀, C₀ соответственно. При этом
∠A₀BB' = ∠B₀CC' = ∠C₀AA'.
  а) Чему могут равняться эти углы?
  б) Докажите, что отрезки AA₀, BB₀, CC₀ пересекаются в одной точке.
  в) Докажите, что проекции центра сферы на прямые A'B', B'C', C'A' образуют правильный треугольник.

   Решение

На одной из медиан треугольника $ABC$ нашлась такая точка $P$, что $\angle PAB=\angle PBC=\angle PCA$. Докажите, что на другой медиане найдется такая точка $Q$, что $\angle QBA=\angle QCB=\angle QAC$.

   Решение

Один из углов прямоугольной трапеции равен 120°, большее основание равно 12.
Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей, если известно, что меньшая диагональ трапеции равна её большему основанию.

   Решение

В выпуклом четырёхугольнике ABCD проведены диагонали AC и BD. Известно, что AD = 2, ABD = ACD = 90^o, и расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники ABD и ACD, равно . Найдите BC.

   Решение

Найдите число нулей, на которое оканчивается число  11¹⁰⁰ – 1.

   Решение

Страница: << 82 83 84 85 86 87 88 >> [Всего задач: 598]      

Докажите, что все числа 10017, 100117, 1001117, ... делятся на 53.

Прислать комментарий

Решение

Решите задачу 3 для надписи A, BC, DEF, CGH, CBE, EKG.

Прислать комментарий

Решение

Вот ребус довольно простой:
ЭХ вчетверо больше, чем ОЙ.
АЙ вчетверо больше, чем ОХ.
Найди сумму всех четырёх.

Прислать комментарий

Решение

Разрежьте по клеточкам квадрат 7×7 на девять прямоугольников (не обязательно различных), из которых можно будет сложить любой прямоугольник со сторонами, не превосходящими 7.

Прислать комментарий

Решение

Найдите число нулей, на которое оканчивается число  11¹⁰⁰ – 1.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 82 83 84 85 86 87 88 >> [Всего задач: 598]