Фильтр
Выбрано 7 задач Убрать все задачи
а) Используя формулу Муавра, докажите, что cos nx = Tn(cos x), sin nx = sin x Un–1(cos x), где Tn(z) и Un(z) – многочлены степени n.
При этом по определению U0(z) = 1.
б) Вычислите в явном виде эти многочлены для n = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Многочлены Tn(z) и Un(z) называются многочленами Чебышёва первого и второго рода соответственно.
Пусть z = e2πi/n = cos 2π/n + i sin 2π/n. Для произвольного целого a вычислите суммы
а) 1 + za + z2a + ... + z(n–1)a;
б) 1 + 2za + 3z2a + ... + nz(n–1)a.
Докажите, что
Дан треугольник ABC. Точка M, расположенная
внутри треугольника, движется параллельно стороне BC до
пересечения со стороной CA, затем параллельно AB до
пересечения с BC, затем параллельно AC до пересечения
с AB и т. д. Докажите, что через некоторое число шагов
траектория движения точки замкнется.
У трёхгранного угла проведены биссектрисы плоских углов. Доказать, что попарные углы между биссектрисами либо одновременно тупые, либо одновременно прямые, либо одновременно острые.
Пусть числа a и b определены равенством a/b = [a0; a1, a2, ..., an]. Докажите, что уравнение ax – by = 1 c неизвестными x и y имеет решением одну из пар (Qn–1, Pn–1) или (– Qn–1, – Pn–1), где Pn–1/Qn–1 – (n–1)-я подходящая дробь. От чего зависит, какая именно из пар является решением?
В треугольнике ABC из вершины C проведены биссектрисы внутреннего и внешнего углов. Первая биссектриса образует со стороной AB угол, равный 40°. Какой угол образует с продолжением стороны AB вторая биссектриса?
Задачи Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 91]
Задача 53930 |
|
|
Биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине A треугольника ABC пересекают прямую BC в точках P и Q.
Докажите, что окружность, построенная на отрезке PQ как на диаметре, проходит через точку A.
|
|
Решение |
Задача 53385 |
|
|
В треугольнике ABC из вершины C проведены биссектрисы внутреннего и внешнего углов. Первая биссектриса образует со стороной AB угол, равный 40°. Какой угол образует с продолжением стороны AB вторая биссектриса?
|
|
Решение |
Задача 53418 |
|
|
Две параллельные прямые пересечены третьей. Найдите угол между биссектрисами внутренних односторонних углов.
|
|
|
Решение |
Задача 66403 |
|
|
Биссектриса угла C и внешнего угла A трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке M, а биссектриса угла B и внешнего угла D – в точке N. Докажите, что середина отрезка MN равноудалена от прямых AB и CD.
|
|
|
Решение |
Задача 116884 |
|
|
Через вершину А остроугольного треугольника АВС проведены касательная АК к его описанной окружности, а также биссектрисы АN и AM внутреннего и внешнего углов при вершине А (точки М, K и N лежат на прямой ВС). Докажите, что MK = KN.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 91]
