В остроугольном треугольнике $ABC$ с высотой $AH=h$ проведена прямая через центры $O$ и $I$ описанной и вписанной окружностей. Эта прямая пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $F$ и $N$ соответственно, причем около четырехугольника $BFNC$ можно описать окружность. Найдите сумму расстояний от ортоцентра треугольника $ABC$ до его вершин.

   Решение

В треугольнике ABC угол A прямой, стороны  AB = 1  и  BC = 2,  BL – биссектриса, G – точка пересечения медиан. Что больше, BL или BG?

   Решение

Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 122]      

В трапеции ABCD диагональ AC равна сумме оснований AB и CD . Точка M – середина стороны BC . Точка B' симметрична точке B относительно прямой AM . Докажите, что ABD = CB'D .

Прислать комментарий

Решение

Пусть O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, T – центр описанной окружности треугольника AOC, M – середина AC. На сторонах AB и BC выбраны точки D и E соответственно так, что  ∠BDM = ∠BEM = ∠B.  Докажите, что  BT ⊥ DE.

Прислать комментарий

Решение

Существует ли выпуклый многоугольник, у которого каждая сторона равна какой-нибудь диагонали, а каждая диагональ– какой-нибудь стороне?

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC угол A прямой, стороны  AB = 1  и  BC = 2,  BL – биссектриса, G – точка пересечения медиан. Что больше, BL или BG?

Прислать комментарий

Решение

В некотором выпуклом n-угольнике  (n > 3)  все расстояния между вершинами различны.
  а) Назовём вершину неинтересной, если самая близкая к ней вершина – соседняя с ней. Каково наименьшее возможное количество неинтересных вершин (при данном n)?
  б) Назовём вершину необычной, если самая дальняя от неё вершина – соседняя с ней. Каково наибольшее возможное количество необычных вершин (при данном n)?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 122]