Докажите, что  ½ (x² + y²) ≥ xy  при любых x и y.

   Решение

Монету бросают трижды. Сколько разных последовательностей орлов и решек можно при этом получить?

   Решение

В футбольной команде (11 человек) нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

   Решение

Окружность делит каждую из сторон треугольника на три равные части. Докажите, что этот треугольник правильный.

   Решение

Из точки, данной на окружности, проведены диаметр и хорда, равная радиусу. Найдите угол между ними.

   Решение

Диагонали четырёхугольника делят его углы пополам. Докажите, что в такой четырёхугольник можно вписать окружность.

   Решение

Коля и Женя договорились встретиться в метро в первом часу дня. Коля приходит на место встречи между полуднем и часом дня, ждёт 10 минут и уходит. Женя поступает точно так же.
  а) Какова вероятность того, что они встретятся?
  б) Как изменится вероятность встречи, если Женя решит прийти раньше половины первого, а Коля по-прежнему – между полуднем и часом?
  в) Как изменится вероятность встречи, если Женя решит прийти в произвольное время с 12.00 до 12.50, а Коля по-прежнему между 12.00 и 13.00?

   Решение

Докажите, что уравнение  3x² + 2 = y²  нельзя решить в целых числах.

   Решение

Докажите, что     при  x ≥ 0.

   Решение

Докажите, что  (a + b - c)/2 < m_c < (a + b)/2, где a, b и c - длины сторон произвольного треугольника, m_c - медиана к стороне c.

   Решение

Докажите, что прямая, проходящая через центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся сторон AB и AC, перпендикулярна прямой, проходящей через центр вписанной окружности и вершину A.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 143]      

Докажите, что прямая, проходящая через центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся сторон AB и AC, перпендикулярна прямой, проходящей через центр вписанной окружности и вершину A.

Прислать комментарий

Решение

Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Доказать, что конец D отрезка BD, выходящего из вершины B, параллельного основанию и равного боковой стороне треугольника, является центром вневписанной окружности треугольника.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике $ABC$ вневписанная окружность, лежащая напротив угла $C$, касается стороны $AB$ в точке $T$. Пусть $J$ – центр вневписанной окружности, лежащей напротив угла $A$, a $M$ – середина $AJ$. Докажите, что $MT=MC$.

Прислать комментарий

Решение

Пусть $BH$ – высота прямоугольного треугольника $ABC$ $(\angle B=90^{\circ})$. Вневписанная окружность треугольника $ABH$, противолежащая вершине $B$, касается прямой $AB$ в точке $A_{1}$; аналогично определяется точка $C_{1}$. Докажите, что $AC\parallel A_{1}C_{1}$.

Прислать комментарий

Решение

Дан ABC. Центры вневписанных окружностей O₁, O₂ и O₃ соединены прямыми. Доказать, что O₁O₂O₃ — остроугольный.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 143]