Каталог по темам

Выбрано 11 задач

Докажите, что если

sin $\displaystyle \alpha$ + sin $\displaystyle \beta$ + sin $\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle \sqrt{3}$ (cos $\displaystyle \alpha$ + cos $\displaystyle \beta$ + cos $\displaystyle \gamma$ ),

то один из углов треугольника ABC равен 60^o.

Решение

Пусть O — центр окружности, описанной около треугольника ABC , AOC = 60^o . Найдите угол AMC , где M — центр окружности, вписанной в треугольник ABC .

Решение

В треугольник ABC со сторонами AB = 5, BC = 7, CA = 10 вписана окружность. Прямая, пересекающая стороны AB и BC в точках M и K, касается этой окружности. Найдите периметр треугольника MBK.

Решение

В прямоугольном треугольнике на гипотенузе AB от вершины A отложим отрезок AD, равный катету AC, а от вершины B - отрезок BE, равный катету BC. Докажите, что длина отрезка DE равна диаметру окружности, вписанной в треугольник ABC.

Решение

Даны положительные числа a, b, c, d, причем a>b>c>d. Докажите, что (a+b+c+d)²>a²+3b²+5c²+7d².

Решение

Автор: Бакаев Е.В.

Через двор проходят четыре пересекающиеся тропинки (см. план).

Посадите четыре яблони так, чтобы по обе стороны от каждой тропинки было поровну яблонь.

Решение

Прямая, параллельная основаниям трапеции, разбивает её на две подобные трапеции.
Найдите отрезок этой прямой, заключённый внутри трапеции, если основания равны a и b.

Решение

Дано число 100...01; число нулей в нём равно 1961. Докажите, что это число – составное.

Решение

Автор: Фольклор

В четырёхугольнике длины всех сторон и диагоналей меньше 1 м. Доказать, что его можно поместить в круг радиуса 0,9 м.

Решение

AB и AC — равные хорды, MAN — касательная, угловая величина дуги BC, не содержащей точки A, равна 200^o. Найдите углы MAB и NAC.

Решение

Прямая касается окружности с центром O в точке A. Точка C на этой прямой и точка D на окружности расположены по одну сторону от прямой OA. Докажите, что угол CAD вдвое меньше угла AOD.

Решение

Задача 52582

Задача 53984

Задача 53985

Задача 52514

Задача 52600