В треугольнике ABC сторона BC равна полусумме двух других сторон. Через точку A и середины B', C' сторон AB и AC проведена окружность Ω и к ней из центра тяжести треугольника проведены касательные. Доказать, что одна из точек касания является центром I вписанной окружности треугольника ABC.

   Решение

В угол вписаны три окружности $\Gamma_1$, $\Gamma_2$, $\Gamma_3$ (радиус $\Gamma_1$ наименьший, а радиус $\Gamma_3$ наибольший), притом $\Gamma_2$ касается $\Gamma_1$ и $\Gamma_3$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Пусть $l$ – касательная в точке $A$ к $\Gamma_1$. Рассмотрим все окружности $\omega$, касающиеся $\Gamma_1$ и $l$. Найдите геометрическое место точек пересечения общих внутренних касательных к парам окружностей $\omega$ и $\Gamma_3$.

   Решение

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Лучи $BA$ и $CD$ пересекаются в точке $P$. Прямая, проходящая через $P$ и параллельная касательной к окружности в точке $D$, пересекает в точках $U$ и $V$ касательные, проведённые к окружности в точках $A$ и $B$. Докажите, что окружности, описанные около треугольника $CUV$ и четырёхугольника $ABCD$, касаются.

   Решение

Из одной точки окружности проведены две хорды, равные 9 и 17. Найдите радиус окружности, если расстояние между серединами данных хорд равно 5.

   Решение

Докажите, что любой прямоугольник можно разрезать на части и сложить из них прямоугольник со стороной 1.

   Решение

Из высот остроугольного треугольника можно составить треугольник. Докажите, что из его биссектрис тоже можно составить треугольник.

   Решение

Квадрат разбит на  n² ≥ 4  прямоугольников  2(n – 1)  прямыми, из которых  n – 1  параллельны одной стороне квадрата, а остальные  n – 1  – другой. Докажите, что можно выбрать 2n прямоугольников разбиения таким образом, что для каждых двух выбранных прямоугольников один из них можно поместить в другой (возможно, предварительно повернув).

   Решение

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведены диаметры AC и AD этих окружностей. Найдите сумму отрезков BC и BD, если расстояние между центрами окружностей равно a, а центры окружностей лежат по разные стороны от общей хорды AB.

   Решение

Страница: << 28 29 30 31 32 33 34 >> [Всего задач: 330]      

На стороне AC треугольника ABC отмечены точки D и E, а на отрезке BE – точка F. Оказалось, что  AC = BD,  2∠ACF = ∠ADB,  2∠CAF = ∠CDB.
Докажите, что  AD = CE.

Прислать комментарий

Решение

Точки M и N – середины боковых сторон AB и CD трапеции ABCD. Перпендикуляр, опущенный из точки M на диагональ AC, и перпендикуляр, опущенный из точки N на диагональ BD, пересекаются в точке P. Докажите, что  PA = PD.

Прислать комментарий

Решение

Из одной точки окружности проведены две хорды, равные 9 и 17. Найдите радиус окружности, если расстояние между серединами данных хорд равно 5.

Прислать комментарий

Решение

Из одной точки окружности проведены две хорды, равные 10 и 12. Найдите радиус окружности, если расстояние от середины меньшей хорды до большей равно 4.

Прислать комментарий

Решение

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведены диаметры AC и AD этих окружностей. Найдите сумму отрезков BC и BD, если расстояние между центрами окружностей равно a, а центры окружностей лежат по разные стороны от общей хорды AB.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 28 29 30 31 32 33 34 >> [Всего задач: 330]