Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию.
Докажите, что радиус вписанной окружности равен трети одной из высот треугольника.

   Решение

a₁, a₂, ..., a_n — произвольные натуральные числа. Обозначим через b_k количество чисел из набора a₁, a₂, ..., a_n, удовлетворяющих условию:  a_i ≥ k.
Доказать, что   a₁ + a₂ + ... + a_n = b₁ + b₂ + ...

   Решение

а) Докажите, что    где a₀, ..., a_n – рациональные числа.

б) Найдите эти представления в явном виде для  n = 2, 3, 4, 5.

в) Выразите sinⁿx при чётном n в виде    а при нечётном – в виде  

   Решение

Внутри прямоугольного треугольника АВС выбрана произвольная точка Р, из которой опущены перпендикуляры PK и РМ на катеты АС и ВС соответственно. Прямые АР и ВР пересекают катеты в точках A' и B' соответственно. Известно, что  S_APB' : S_KPB' = m.  Найдите  S_MPA' : S_BPA'.

   Решение

Гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC является хордой окружности радиуса 10. Вершина C лежит на диаметре окружности, который параллелен гипотенузе,  ∠A = 75°.  Найдите площадь треугольника ABC.

   Решение

Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 403]      

Окружность с центром O касается в точке A внутренним образом большей окружности. Из B точки большей окружности, диаметрально противоположной точке A, проведена хорда BC большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке M. Докажите, что OM || AC.

Прислать комментарий

Решение

Гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC является хордой окружности радиуса 10. Вершина C лежит на диаметре окружности, который параллелен гипотенузе,  ∠A = 75°.  Найдите площадь треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Гипотенуза KM прямоугольного треугольника KMP является хордой окружности радиуса . Вершина P находится на диаметре, который параллелен гипотенузе. Расстояние от центра окружности до гипотенузы равно . Найдите острые углы треугольника KMP.

Прислать комментарий

Решение

На продолжении стороны AD ромба ABCD за точку D взята точка K. Прямые AC и BK пересекаются в точке Q. Известно, что  AK = 14  и что точки A, B и Q лежат на окружности радиуса 6, центр которой принадлежит отрезку AK. Найдите BK.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC проведена биссектриса AP. Известно, что  BP = 16,  PC = 20  и что центр описанной окружности треугольника ABP, лежит на отрезке AC. Найдите сторону AB.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 403]