Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Геометрия >> Планиметрия >> Окружности >> Касательные прямые и касающиеся окружности >> Прямые, касающиеся окружностей
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 15 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Основания трапеции равны 1,8 и 1,2; боковые стороны, равные 1,5 и 1,2, продолжены до взаимного пересечения.
Найдите, насколько продолжены боковые стороны.

Вниз   Решение

Проверьте, что многочлены Чебышёва Tn(x) и Un(x) (см. задачу 61099) удовлетворяют начальным условиям
T0(x) = 1,   T1(x) = x;   U0(x) = 1,   U1(x) = 2x,   и рекуррентным формулам   Tn+1(x) = 2xTn(x) – Tn–1(x),   Un+1(x) = 2xUn(x) – Un–1(x).

ВверхВниз   Решение

Автор: Толпыго А.К.

Известно, что число a положительно, а неравенство  1 < xa < 2  имеет ровно три решения в целых числах.
Сколько решений в целых числах может иметь неравенство  2 < xa < 3 ?

ВверхВниз   Решение

Имеется несколько камней, масса каждого из которых не превосходит 2 кг, а общая масса равна 100 кг. Из них выбирается несколько камней, суммарная масса которых отличается от 10 кг на наименьшее возможное для данного набора число d. Какое максимальное значение может принимать число d для всевозможных наборов камней?

ВверхВниз   Решение

Сумма положительных чисел x1, x2, ..., xn равна ½. Докажите, что  

ВверхВниз   Решение

Автор: Кожевников П.А.

Имеются 2013 карточек, на которых написана цифра 1, и 2013 карточек, на которых написана цифра 2. Вася складывает из этих карточек 4026-значное число. За один ход Петя может поменять местами некоторые две карточки и заплатить Васе 1 рубль. Процесс заканчивается, когда у Пети получается число, кратное 11. Какую наибольшую сумму может заработать Вася, если Петя стремится заплатить как можно меньше?

ВверхВниз   Решение

Автор: Бегунц А.В.

Решите уравнение tanπx=[lgπx]−[lg[πx]], где [a] обозначает наибольшее целое число, не превосходящее a.

ВверхВниз   Решение

Девять чисел таковы, что сумма каждых четырёх из них меньше суммы пяти остальных. Докажите, что все числа положительны.

ВверхВниз   Решение

Дано 100 чисел a1, a2, a3, ..., a100, удовлетворяющих условиям:
  a1 – 4a2 + 3a3 ≥ 0,
  a2 – 4a3 + 3a4 ≥ 0,
  a3 – 4a4 + 3a5 ≥ 0,
    ...,
  a99 – 4a100 + 3a1 ≥ 0,
  a100 – 4a1 + 3a2 ≥ 0.
Известно, что  a1 = 1,  определить a2, a3, ..., a100.

ВверхВниз   Решение

В треугольнике ABC из вершины A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке D, находящейся между точками B и C, причём $ {\frac{CD}{BC}}$ = $ \alpha$ ( $ \alpha$ < $ {\frac{1}{2}}$). На стороне BC между точками B и D взята точка E и через неё проведена прямая, параллельная стороне AC и пересекающая сторону AB в точке F. Найдите отношение площадей трапеции ACEF и треугольника ADC, если известно, что CD = DE.

ВверхВниз   Решение

Из одной точки проведены к данной прямой перпендикуляр и две наклонные.
Найдите длину перпендикуляра, если наклонные равны 41 и 50, а их проекции на данную прямую относятся как  3 : 10.

ВверхВниз   Решение

На листе бумаги отмечены точки A, B, C, D. Распознающее устройство может абсолютно точно выполнять два типа операций: а) измерять в сантиметрах расстояние между двумя заданными точками; б) сравнивать два заданных числа. Какое наименьшее число операций нужно выполнить этому устройству, чтобы наверняка определить, является ли четырёхугольник ABCD прямоугольником?

ВверхВниз   Решение

Докажите, что  

ВверхВниз   Решение

В угол вписаны две окружности; у них есть общая внутренняя касательная T1T2 (T1 и T2 — точки касания), которая пересекает стороны угла в точках A1 и A2. Докажите, что A1T1 = A2T2 (или, что эквивалентно, A1T2 = A2T1).

ВверхВниз   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте точку так, чтобы касательные, проведённые из неё к двум данным окружностям, были равны данным отрезкам.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 78 79 80 81 82 83 84 >> [Всего задач: 772]      

  с решениями  

Задача 54051

Темы:   [ Диаметр, основные свойства ]
[ Признаки и свойства касательной ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Окружность касается одной стороны прямого угла с вершиной O и пересекает вторую сторону в точках A и B. Найдите радиус окружности, если OA = a и OB = b.

Прислать комментарий     Решение

Задача 54364

Темы:   [ Площадь трапеции ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

В трапеции ABCD известно, что $ \angle$BAD = 45o, $ \angle$ADC = 90o. Окружность, центр которой лежит на отрезке AD, касается прямых AB, BC и CD. Найдите площадь трапеции, если радиус окружности равен R.

Прислать комментарий     Решение

Задача 54365

Темы:   [ Площадь трапеции ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

В трапеции ABCD известно, что $ \angle$BAD = 90o, $ \angle$ADC = 30o. Окружность, центр которой лежит на отрезке AD, касается прямых AB, BC и CD. Найдите площадь трапеции, если радиус окружности равен R.

Прислать комментарий     Решение

Задача 54524

Темы:   [ Метод ГМТ ]
[ Признаки и свойства касательной ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

С помощью циркуля и линейки постройте точку так, чтобы касательные, проведённые из неё к двум данным окружностям, были равны данным отрезкам.

Прислать комментарий     Решение

Задача 54525

Темы:   [ Метод ГМТ ]
[ Признаки и свойства касательной ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

С помощью циркуля и линейки постройте точку, из которой две данные окружности были бы видны под данными углами.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 78 79 80 81 82 83 84 >> [Всего задач: 772]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .