Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Геометрия >> Планиметрия >> Четырехугольники >> Параллелограммы >> Частные случаи >> Ромбы. Признаки и свойства
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 22 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Ира, Наташа, Алеша и Витя собирали грибы. Наташа собрала больше всех, Ира не меньше всех, а Алеша – больше, чем Витя.
Верно ли, что девочки собрали грибов больше, чем мальчики?

Вниз   Решение

Автор: Фольклор

Посёлок построен в виде квадрата 3 квартала на 3 квартала (кварталы – квадраты со стороной b, всего 9 кварталов). Какой наименьший путь должен пройти асфальтоукладчик, чтобы заасфальтировать все улицы, если он начинает и кончает свой путь в угловой точке A? (Стороны квадрата – тоже улицы).

ВверхВниз   Решение

В правильной пирамиде SMNPQ ( S – вершина) точки H и F – середины рёбер MN и NP соответственно, точка E лежит на отрезке SH , причём SH = 3 , SE = . Расстояние от точки S до прямой EF равно . Найдите объём пирамиды. Дана сфера радиуса 1 с центром в точке S . Рассматриваются всевозможные правильные тетраэдры ABCD такие, что точки C и D лежат на прямой EF , а прямая AB касается сферы в одной из точек отрезка AB . Найдите наименьшее значение длины ребра рассматриваемых тетраэдров.

ВверхВниз   Решение

В кубе ABCDA1B1C1D1 , где AA1 , BB1 , CC1 и DD1 – параллельные рёбра, плоскость P проходит через точку D и середины рёбер A1D1 и C1D1 . Найдите расстояние от середины ребра AA1 до плоскости P , если ребро куба равно 2.

ВверхВниз   Решение

Две высоты треугольника равны. Докажите, что треугольник равнобедренный.

ВверхВниз   Решение

Докажите равенство треугольников по стороне и высотам, опущенным на две другие стороны.

ВверхВниз   Решение

Автор: Бакаев Е.В.

Даны N прямоугольных треугольников. У каждого выбрали по одному катету и нашли сумму их длин, затем нашли сумму длин оставшихся катетов и, наконец, нашли сумму длин всех гипотенуз. Оказалось, что три найденных числа являются длинами сторон некоторого прямоугольного треугольника. Докажите, что у всех исходных треугольников одно и то же отношение большего катета к меньшему, если
  а)  N = 2;
  б)  N – любое натуральное число, большее 1.

ВверхВниз   Решение

Окружность с центром в точке пересечения диагоналей AC и BC равнобедренной трапеции ABCD касается меньшего основания BC и боковой стороны AB. Найдите площадь трапеции ABCD, если известно, что её высота равна 16, а радиус окружности равен 3.

ВверхВниз   Решение

Найдите цифры a и b, для которых   = 0,bbbbb...

ВверхВниз   Решение

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, равные a и b. Найдите катеты.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что в прямоугольной трапеции разность квадратов диагоналей равна разности квадратов оснований.

ВверхВниз   Решение

Представьте следующие рациональные числа в виде десятичных дробей:
  а) 1/7;   б) 2/7;   в) 1/14;   г) 1/17.

ВверхВниз   Решение

Автор: Френкин Б.Р.

Дан выпуклый 100-угольник. Докажите, что можно отметить такие 50 точек внутри этого многоугольника, что каждая вершина будет лежать на прямой, проходящей через какие-то две из отмеченных точек.

ВверхВниз   Решение

Последовательность чисел a1, a2, a3,...задается условиями

a1 = 1,        an + 1 = an + $\displaystyle {\dfrac{1}{a_n^2}}$        (n $\displaystyle \geqslant$ 0).

Докажите, что
а) эта последовательность неограничена;
б) a9000 > 30;
в) найдите предел $ \lim\limits_{n\to\infty}^{}$$ {\dfrac{a_n}{\sqrt[3]n}}$.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что:
а)  a = r(ctg($ \beta$/2) + ctg($ \gamma$/2)) = r cos($ \alpha$/2)/(sin($ \beta$/2)sin($ \gamma$/2));
б)  a = ra(tg($ \beta$/2) + tg($ \gamma$/2)) = racos($ \alpha$/2)/(cos($ \beta$/2)cos($ \gamma$/2));
в)  p - b = rctg($ \beta$/2) = ratg($ \gamma$/2);
г)  p = ractg($ \alpha$/2).

ВверхВниз   Решение

Автор: Михайлов И.

Прямая $\ell$, параллельная стороне $BC$ треугольника $ABC$, касается его вписанной окружности и пересекает его описанную окружность в точках $D$ и $E$. Пусть $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что $AI^2 = AD\cdot AE$.

ВверхВниз   Решение

На продолжениях гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC за точки A и B соответственно взяты точки K и M, причём  AK = AC  и  BM = BC.  Найдите угол MCK.

ВверхВниз   Решение

В график функции, симметричной относительно оси ординат, вписана "ёлочка" высотой 1. Известно, что "ветки" ёлочки составляют угол 450 с вертикалью. Найдите периметр ёлочки (т.е. сумму длин всех зеленых отрезков).

ВверхВниз   Решение

Автор: Шаповалов А.В.

Для какого наибольшего n можно выбрать на поверхности куба n точек так, чтобы не все они лежали в одной грани куба и при этом были вершинами правильного (плоского) n-угольника.

ВверхВниз   Решение

Автор: Швецов Д.В.

На гипотенузе AC прямоугольного треугольника ABC отметили точку такую C1, что  BC = CC1.  Затем на катете AB отметили такую точку C2, что
AC2 = AC1;  аналогично определяется точка A2. Найдите угол AMC, где M – середина отрезка A2C2.

ВверхВниз   Решение

Катеты прямоугольного треугольника относятся как 5:6, а гипотенуза равна 122. Найдите отрезки, на которые высота делит гипотенузу.

ВверхВниз   Решение

В ромбе ABCD угол A равен 60o. Точки M и N лежат на сторонах CD и AD соответственно. Докажите, что если один из углов треугольника BMN равен равен 60o, то и остальные тоже равны по 60o.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 173]      

  с решениями  

Задача 53650

Темы:   [ Ромбы. Признаки и свойства ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что точки пересечения биссектрис каждого из треугольников ABO, BCO, CDO и DAO являются вершинами квадрата.

Прислать комментарий     Решение

Задача 53651

Темы:   [ Ромбы. Признаки и свойства ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Угол при вершине A ромба ABCD равен 60o. На сторонах AB и BC взяты соответственно точки M и N, причём AM = BN. Докажите, что треугольник MDN — равносторонний.

Прислать комментарий     Решение

Задача 54372

Темы:   [ Ромбы. Признаки и свойства ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
[ Признаки и свойства касательной ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Из вершины тупого угла ромба ABCD проведены высоты BM и BN. В четырёхугольник BMDN вписана окружность радиуса 1. Найдите сторону ромба, если $ \angle$ABC = 2arctg2.

Прислать комментарий     Решение

Задача 54373

Темы:   [ Ромбы. Признаки и свойства ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
[ Признаки и свойства касательной ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Из вершины A острого угла ромба ABCD опущены перпендикуляры AM и AN на продолжения сторон BC и CD. В четырёхугольник AMCN вписана окружность радиуса 1. Найдите сторону ромба, если $ \angle$BAC = 2arctg$ {\frac{1}{2}}$.

Прислать комментарий     Решение

Задача 55552

Темы:   [ Ромбы. Признаки и свойства ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

В ромбе ABCD угол A равен 60o. Точки M и N лежат на сторонах CD и AD соответственно. Докажите, что если один из углов треугольника BMN равен равен 60o, то и остальные тоже равны по 60o.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 173]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .