Каталог по темам

Выбрано 11 задач

В каких пределах может изменяться плоский угол трёхгранного угла, если два других плоских угла соответственно равны: а) 70^o и 100^o ; б) 130^o и 150^o ?

Решение

Продолжения сторон AB и CD вписанного четырехугольника ABCD пересекаются в точке P, а продолжения сторон BC и AD — в точке Q. Докажите, что точки пересечения биссектрис углов AQB и BPC со сторонами четырехугольника являются вершинами ромба.

Решение

Диагонали трапеции ABCD с основаниями AD и BC пересекаются в точке O; точки B' и C' симметричны вершинам B и C относительно биссектрисы угла BOC. Докажите, что $\angle$ C'AC = $\angle$ B'DB.

Решение

Верно ли, что в сечении любого трёхгранного угла плоскостью можно получит правильный треугольник?

Решение

Около сферы описан пространственный четырёхугольник. Докажите, что четыре точки касания лежат в одной плоскости.

Решение

Найдите геометрическое место точек, расстояния от каждой из которых до двух данных точек относятся как m : n.

Решение

Дана замкнутая пространственная ломаная. Некоторая плоскость пересекает все её звенья: A₁A₂ в точке B₁, A₂A₃ — в точке B₂, ..., A_nA₁ -- в точке B_n. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{A_1B_1}{B_1A_2}}$ $\displaystyle {\frac{A_2B_2}{B_2A_3}}$ ... $\displaystyle {\frac{A_nB_n}{B_nA_1}}$ = 1.

Решение

Точка D расположена на стороне BC треугольника ABC. Докажите, что AB^{2 .}DC + AC^{2 .}BD - AD^{2 .}BC = BC^.DC^.BD.

Решение

Существует ли такое x, что ?

Решение

По случаю празднования дня Смеха Джон и Иван приготовили себе по коктейлю. Джон смешал виски с ликёром, а Иван – водку с пивом. Известно, что виски крепче водки, а ликёр крепче пива. Можно ли утверждать, что Джон пьёт более крепкий коктейль?

Решение

Докажите, что середины сторон произвольного четырёхугольника – вершины параллелограмма.
Для каких четырёхугольников этот параллелограмм является прямоугольником, для каких – ромбом, для каких – квадратом?

Решение

Задача 53552

Задача 54120

Задача 54121

Задача 54668

Задача 56457