Каталог по темам

Задачи

Страница: << 52 53 54 55 56 57 58 >> [Всего задач: 416]

Задача 56876

Темы:	[	Целочисленные треугольники	]
Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]

Сложность: 6
Классы: 8,9

а) В треугольнике ABC, длины сторон которого рациональные числа, проведена высота BB₁. Докажите, что длины отрезков AB₁ и CB₁ — рациональные числа.
б) Длины сторон и диагоналей выпуклого четырехугольника — рациональные числа. Докажите, что диагонали разрезают его на четыре треугольника, длины сторон которых — рациональные числа.

Прислать комментарий Решение

Задача 56975

Темы:	[	Точки Брокара	]
Темы:	[	Выпуклость и вогнутость	]

Сложность: 7+
Классы: 10,11

Докажите, что для угла Брокара $\varphi$ выполняются следующие неравенства:
а) $\varphi^{3}_{}$ $\le$ ( $\alpha$ - $\varphi$ )( $\beta$ - $\varphi$ )( $\gamma$ - $\varphi$ );
б) 8 $\varphi^{3}_{}$ $\le$ $\alpha$ $\beta$ $\gamma$ (неравенство Йиффа).

Прислать комментарий Решение

Задача 98024

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Цепные (непрерывные) дроби	]
	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]

Сложность: 2
Классы: 7,8,9

Автор: Гальперин Г.А.

Решить в натуральных числах уравнение:

Прислать комментарий

Решение

Задача 60551

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Количество и сумма делителей числа	]
	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]

Сложность: 2+
Классы: 6,7,8,9

Пусть α – действительное положительное число, d – натуральное.
Докажите, что количество натуральных чисел, не превосходящих α и делящихся на d, равно [^α/_d].

Прислать комментарий

Решение

Задача 103966

Темы:	[	Раскладки и разбиения	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Периодичность и непериодичность	]

Сложность: 3-
Классы: 7,8,9

В Монголии имеются в обращении монеты в 3 и 5 тугриков. Входной билет в центральный парк стоит 4 тугрика. Как-то раз перед открытием в кассу парка выстроилась очередь из 200 посетителей. У каждого из них, а также у кассира есть ровно 22 тугрика. Докажите, что все посетители смогут купить билет в порядке очереди.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 52 53 54 55 56 57 58 >> [Всего задач: 416]