Геологи взяли в экспедицию 80 банок консервов, веса которых все известны и различны (имеется список). Через некоторое время надписи на консервах стали нечитаемыми, и только завхоз знает, где что. Он может это всем доказать (то есть обосновать, что в какой банке находится), не вскрывая консервов и пользуясь только сохранившимся списком и двухчашечными весами со стрелкой, показывающей разницу весов.
Докажите, что для этой цели ему
  а) достаточно четырёх взвешиваний и
  б) недостаточно трёх.

   Решение

Даны непересекающиеся хорды AB и CD окружности и точка J на хорде CD. Постройте на окружности точку X так, чтобы хорды AX и BX высекали на хорде CD отрезок EF, делящийся точкой J пополам.

   Решение

Докажите неравенство     для положительных значений переменных.

   Решение

Докажите, что

   Решение

На доске написаны четыре попарно различных целых числа, модуль каждого из которых больше миллиона. Известно, что не существует натурального числа, большего 1, на которое бы делилось каждое из четырёх написанных чисел. Петя записал в тетрадку шесть попарных сумм этих чисел, разбил эти шесть сумм на три пары и перемножил числа в каждой паре. Могли ли все три произведения оказаться равными?

   Решение

Три бегуна А, Б, В несколько раз совершили забег на 100 метров. При подведении результатов оказалось, что А обогнал Б больше, чем в половине забегов, Б обогнал В больше, чем в половине забегов, а В обогнал А больше, чем в половине забегов. Могло ли это случиться?

   Решение

Положительные числа  a₁,..., a_n таковы, что  2a_i < a₁ + ... + a_n при всех  i = 1,..., n. Докажите, что существует вписанный n-угольник, длины сторон которого равны  a₁,..., a_n.

   Решение

Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 508]      

Докажите, что если в выпуклом шестиугольнике каждый из трех отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, делит площадь пополам, то эти отрезки пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что в правильном тридцатиугольнике A₁...A₃₀ следующие тройки диагоналей:
  а) A₁A₇, A₂A₉, A₄A₂₃;
  б) A₁A₇, A₂A₁₅, A₄A₂₉;
  в) A₁A₁₃, A₂A₁₅, A₁₀A₂₉
пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Положительные числа  a₁,..., a_n таковы, что  2a_i < a₁ + ... + a_n при всех  i = 1,..., n. Докажите, что существует вписанный n-угольник, длины сторон которого равны  a₁,..., a_n.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что точки пересечения противоположных сторон (если эти стороны не параллельны) вписанного шестиугольника лежат на одной прямой (Паскаль).

Прислать комментарий

Решение

Точка M лежит на описанной окружности треугольника ABC; R — произвольная точка. Прямые AR, BR и CR пересекают описанную окружность в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что точки пересечения прямых MA₁ и BC, MB₁ и CA, MC₁ и AB лежат на одной прямой, проходящей через точку R.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 508]