Каталог по темам

Задачи

Страница: << 20 21 22 23 24 25 26 >> [Всего задач: 373]

Задача 55233

Темы:	[	Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Формулы для площади треугольника	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Докажите, что в любом треугольнике имеет место неравенство R ≥ 2r, где R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей, причём равенство имеет место только для правильного треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Задача 55682

Темы:	[	Против большей стороны лежит больший угол	]
	[	Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Вписанная окружность касается сторон AC и BC треугольника ABC в точках B₁ и A₁ соответственно. Докажите, что если AC > BC, то AA₁ > BB₁.

Прислать комментарий Решение

Задача 57307

Тема:

[

Неравенства с медианами

]

Сложность: 4
Классы: 8

Точки A₁,..., A_n не лежат на одной прямой. Пусть две разные точки P и Q обладают тем свойством, что A₁P + ... + A_nP = A₁Q + ... + A_nQ = s. Докажите, что тогда A₁K + ... + A_nK < s для некоторой точки K.

Прислать комментарий Решение

Задача 57412

Тема:

[

Неравенства с медианами

]

Сложность: 4
Классы: 8,9

а) Докажите, что если a, b, c — длины сторон произвольного треугольника, то a² + b² $\geq$ c²/2.
б) Докажите, что m_a² + m_b² $\geq$ 9c²/8.

Прислать комментарий Решение

Задача 57421

Тема:

[

Неравенства с высотами

]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Пусть a < b. Докажите, что a + h_a $\leq$ b + h_b.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 20 21 22 23 24 25 26 >> [Всего задач: 373]