Гриша записал на доске 100 чисел. Затем он увеличил каждое число на 1 и заметил, что произведение всех 100 чисел не изменилось. Он опять увеличил каждое число на 1, и снова произведение всех чисел не изменилось, и так далее. Всего Гриша повторил эту процедуру k раз, и все k раз произведение чисел не менялось. Найдите наибольшее возможное значение k.

   Решение

Квадрат ABCD разрезан на одинаковые прямоугольники с целыми длинами сторон. Фигура F является объединением всех прямоугольников, имеющих общие точки с диагональю AC. Докажите, что AC делит площадь фигуры F пополам.

   Решение

Квадратный трёхчлен  f(x) = ax² + bx + c  таков, что уравнение  f(x) = x  не имеет вещественных корней.
Докажите, что уравнение  f(f(x)) = x  также не имеет вещественных корней.

   Решение

Отрезок KL проходит через точку пересечения диагоналей четырехугольника ABCD, а концы его лежат на сторонах AB и CD. Докажите, что длина отрезка KL не превосходит длины одной из диагоналей.

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 40]      

Дан треугольник ABC. Пусть A₁, B₁, C₁ — точки пересечения прямых AS, BS, CS соответственно со сторонами BC, CA, AB треугольника, где S — произвольная внутренняя точка треугольника ABC. Доказать, что, по крайней мере, в одном из полученных четырёхугольников AB₁SC₁, C₁SA₁B, A₁SB₁C углы при вершинах C₁, B₁, или C₁, A₁, или A₁, B₁ &8212; одновременно оба неострые.

Прислать комментарий

Решение

Можно ли в прямоугольник с отношением сторон 9 : 16 вписать прямоугольник с отношением сторон 4 : 7 (так, чтобы на каждой стороне первого прямоугольника лежала вершина второго)?

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что площадь четырёхугольника со сторонами a , b , c и d не превосходит ((a+c)2+bd) .

Прислать комментарий

Решение

Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O . Докажите, что

++ + +++ .

Прислать комментарий

Решение

Отрезок KL проходит через точку пересечения диагоналей четырехугольника ABCD, а концы его лежат на сторонах AB и CD. Докажите, что длина отрезка KL не превосходит длины одной из диагоналей.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 40]