Фильтр
Выбрано 8 задач Убрать все задачи
Известно, что число a + 1/a – целое. Докажите, что число a² + 1/a² – тоже целое.
РешениеПростым или составным является число 100² + 201?
РешениеНа стороне AB четырехугольника ABCD взята точка M1. Пусть M2 — проекция M1 на прямую BC из D, M3 — проекция M2 на CD из A, M4 — проекция M3 на DA из B, M5 — проекция M4 на AB из C и т. д. Докажите, что M13 = M1 (а значит, M14 = M2, M15 = M3 и т. д.).
РешениеНа доске написано число 1. Два игрока по очереди прибавляют любое число от 1 до 5 к числу на доске и записывают вместо него сумму. Выигрывает игрок, который первый запишет на доске число тридцать. Укажите выигрышную стратегию для второго игрока.
РешениеВ выражении x6 + x4 + xA замените А на одночлен так, чтобы получился полный квадрат. Найдите как можно больше решений.
РешениеДаны две точки A и B. Две окружности касаются прямой AB (одна — в точке A, другая — в точке B) и касаются друг друга в точке M. Найдите ГМТ M.
Решение
В окружность радиуса R вписан шестиугольник ABCDEF. Известно, что
A =
C =
E, AB = a, CD = b, EF = c.
Найдите площадь шестиугольника ABCDEF.
РешениеДокажите, что rrc
Решение
Задачи
Задача 57435 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 78558 |
|
|
|
|
Решение |
Задача 98611 |
|
В треугольнике ABC взяли точку M так, что что радиусы описанных окружностей треугольников AMC, BMC и BMA не меньше радиуса описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что все четыре радиуса равны.
|
|
|
Решение |
Задача 66355 |
|
Пусть R1, R2 и R3 – радиусы трёх окружностей, каждая из которых проходит через вершину треугольника и касается противолежащей стороны.
Докажите, что 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 ≤ 1/r, где r – радиус вписанной окружности этого треугольника.
|
|
|
Решение |
Задача 55233 |
|
Докажите, что в любом треугольнике имеет место неравенство R ≥ 2r, где R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей, причём равенство имеет место только для правильного треугольника.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 27]
