Треугольники ABC и BAD равны, причём точки C и D лежат по разные стороны от прямой AB. Докажите, что:
  а) треугольники CBD и DAC равны;
  б) прямая CD делит отрезок AB пополам.

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по стороне, медиане, проведённой к этой стороне, и высоте, проведённой к другой стороне.

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по двум высотам и углу, из вершины которого проведена одна из них.

   Решение

Существуют ли в пространстве четыре точки A, B, C, D такие, что AB = CD = 8 см, AC = BD = 10 см, AD = BC = 13 см?

   Решение

В некотором выпуклом n-угольнике  (n > 3)  все расстояния между вершинами различны.
  а) Назовём вершину неинтересной, если самая близкая к ней вершина – соседняя с ней. Каково наименьшее возможное количество неинтересных вершин (при данном n)?
  б) Назовём вершину необычной, если самая дальняя от неё вершина – соседняя с ней. Каково наибольшее возможное количество необычных вершин (при данном n)?

   Решение

На окружности S с диаметром AB взята точка C, из точки C опущен перпендикуляр CH на прямую AB. Докажите, что общая хорда окружности S и окружности S₁ с центром C и радиусом CH делит отрезок CH пополам.

   Решение

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку K первой окружности проводятся прямые KA и KB, вторично пересекающие другую окружность в точках P и Q соответственно. Докажите, что хорда PQ окружности перпендикулярна диаметру KM первой окружности.

   Решение

Докажите, что любой выпуклый многоугольник площади 1 можно поместить в прямоугольник площади 2.

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник ABC, если заданы его наименьший угол при вершине A и отрезки  d = AB – BC  и  e = AC – BC.

   Решение

Постройте треугольник по стороне, медиане, проведённой к этой стороне и медиане, проведённой к одной из двух других сторон.

   Решение

Отмечено 100 точек – N вершин выпуклого N-угольника и  100 – N  точек внутри этого N-угольника. Точки как-то обозначены, независимо от того, какие являются вершинами N-угольника, а какие лежат внутри. Известно, что никакие три точки не лежат на одной прямой, а никакие четыре – на двух параллельных прямых. Разрешается задавать вопросы типа: чему равна площадь треугольника XYZ (X, Y, Z – из числа отмеченных точек). Докажите, что 300 вопросов достаточно, чтобы выяснить, какие точки являются вершинами N-угольника, и чтобы найти его площадь.

   Решение

На сторонах BC, CA и AB остроугольного треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁. Докажите, что

2(B₁C₁cos + C₁A₁cos + A₁B₁cos) a cos + b cos + c cos.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      

Докажите, что треугольник ABC остроугольный тогда и только тогда, когда длины его проекций на три различных направления равны.

Прислать комментарий

Решение

Пусть h — наибольшая высота нетупоугольного треугольника. Докажите, что r + R h.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах BC, CA и AB остроугольного треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁. Докажите, что

2(B₁C₁cos + C₁A₁cos + A₁B₁cos) a cos + b cos + c cos.

Прислать комментарий

Решение

Существуют ли в пространстве четыре точки A, B, C, D такие, что AB = CD = 8 см, AC = BD = 10 см, AD = BC = 13 см?

Прислать комментарий

Решение

Пять отрезков таковы, что из любых трех из них можно составить треугольник. Докажите, что хотя бы один из этих треугольников остроугольный.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]